Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

b) \(\tan \left( {\frac{x}{3} + 10^\circ } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\);

c) sin 3x – cos 5x = 0;

d) tan 3x tan x = 1.

Lời giải

a) Ta có \(\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\3x = \frac{{4\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Ta có \(\tan \left( {\frac{x}{3} + 10^\circ } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{x}{3} + 10^\circ } \right) = \tan \left( { - 30^\circ } \right)\)

⇔ \(\frac{x}{3}\) + 10° = – 30° + k180° (k ∈ ℤ)

⇔ x = – 120° + k540° (k ∈ ℤ).

c) Ta có sin 3x – cos 5x = 0

⇔ sin 3x = cos 5x

\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\3x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) Điều kiện cos 3x ≠ 0 và cos x ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 0 .

Ta có tan 3x tan x = 1

\( \Leftrightarrow \tan 3x = \frac{1}{{\tan x}}\)

⇔ tan 3x = cot x

\( \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta thấy \(x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).