Câu hỏi:

13/07/2024 4,759

Giải các phương trình sau:

a) sin 5x + cos 5x = – 1;

b) cos 3x – cos 5x = sin x;

c) 2 cos2 x + cos 2x = 2;

d) sin4 x + cos4 x = \(\frac{1}{2}\)sin2 2x.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\5x + \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x

\( \Leftrightarrow - 2\sin \frac{{3x + 5x}}{2}\sin \frac{{3x - 5x}}{2} = \sin x\)

\( \Leftrightarrow - 2\sin 4x\sin \left( { - x} \right) = \sin x\)

\( \Leftrightarrow 2\sin 4x\sin x - \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin 4x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin 4x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

+ Với sin x = 0 ta được x = kπ (k ℤ).

+ Với \(\sin 4x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Ta có 2 cos2 x + cos 2x = 2

(2 cos2 x – 1) + cos 2x = 1

cos 2x + cos 2x = 1

2cos 2x = 1

cos 2x = \(\frac{1}{2}\)

cos 2x = \(\cos \frac{\pi }{3}\)

2x = \( \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) Ta có sin4 x + cos4 x = \(\frac{1}{2}\)sin2 2x

\( \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2} = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0\) (do sin2 2x + cos2 2x = 1)

\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(2\cos x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(x \in \left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên:

+ Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{7}{6}\) , mà k ℤ, từ đó suy ra k {0; 1}.

+ Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(0 \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{4}{3}\), mà k ℤ, từ đó suy ra k = 1.

Vậy phương trình \(2\cos x = \sqrt 3 \) có 3 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Lời giải

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Công thức nhân đôi:

sin 2a = 2sin a cos a.

cos 2a = cos2 a – sin2 a = 1 – 2sin2 a.

tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\).

Vậy đáp án D sai.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay