Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn f (x) + f (−x) = 3 − 2cos x, với mọi x Î ℝ. Tính tích phân $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ ?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: f (x) + f (−x) = 3 − 2cos x

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 3 - 2 \cos x d x = {(3 x - 2 \sin x)|}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

$= 3 . \frac{π}{2} - 2 \sin (\frac{π}{2}) - 3 . (- \frac{π}{2}) + 2 \sin (- \frac{π}{2})$

= 3p − 4

Vậy $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{3 π}{2} - 2$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 2

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 3