Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn fx+f−x=2+2cos2x, ∀x∈ℝ. Tính I=∫−3π23π2fxdx.

Ta có: fx+f−x=2+2cos2x =2+22cos2x−1=2cos2x=2cosx Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt Khi đó: I=∫−3π23π2fxdx=−∫3π2−3π2f−tdt=∫−3π23π2f−tdt=∫−3π23π2f−xdx ⇒2I=∫−3π23π2fxdx+∫−3π23π2f−xdx=∫−3π23π2fx+f−xdx =∫−3π23π22cosxdx=−2∫−3π23π2cosxdx =−2sinx−3π23π2=−2sin3π2+2sin−3π2 = (−2).(−1) + 2.1 = 4 Vậy I=∫−3π23π2fxdx=2.

Câu hỏi:

13/07/2024 4,949

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn

$f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}, \forall x \in ℝ$ . Tính $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}$

$= \sqrt{2 + 2 (2 \cos^{2} x - 1)} = 2 \sqrt{\cos^{2} x} = 2 |\cos x|$

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{3 π}{2}}^{- \frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} 2 |\cos x| d x = - 2 \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos x d x$

$= {- 2 \sin x|}_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} = - 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \sin (- \frac{3 π}{2})$

= (−2).(−1) + 2.1 = 4

Vậy $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = 2$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3