Câu hỏi:

02/09/2023 851

Gọi (d) là tiếp tuyến của $(C) : y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ tại M cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B. Tồn tại điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận. Tính bình phương khoảng cách giữa hai điểm M đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 16) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$y^{'} = \frac{- 1}{{(x - 2)}^{2}} \forall x \neq 2$

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nên I ( 2;2).

Đặt $M (m + 2; \frac{2 m + 1}{m}) \in (C) (m \neq 0)$ .

$\Rightarrow (d) : y = y^{'} (x_{M}) \cdot (x - x_{M}) + y_{M} hay (d) : y = \frac{- 1}{m^{2}} \cdot (x - m - 2) + \frac{2 m + 1}{m} .$

Gọi A là giao điểm của d và tiệm cận đứng x = 2

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} = 2 \\ y_{A} = \frac{- 1}{m^{2}} \cdot (2 - m - 2) + \frac{2 m + 1}{m} = \frac{2 m + 2}{m} \Rightarrow A (2; \frac{2 m + 2}{m}) . \end{cases}$

Gọi B là giao điêm của (d) và tiệm cận ngang y =2

$\Rightarrow \{\begin{array}{l} 2 = \frac{- 1}{m^{2}} \cdot (x_{B} - m - 2) + \frac{2 m + 1}{m} \\ y_{B} = 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} x_{B} = 2 m + 2 \\ y_{B} = 2 \end{array} \Rightarrow B (2 m + 2; 2) .$

Vì $△ I A B$ vuông tại I nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là

$R = \frac{A B}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 m^{2} + \frac{4}{m^{2}}} = \sqrt{m^{2} + \frac{1}{m^{2}}} (1).$

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương $m^{2}$ và $\frac{1}{m^{2}}$ , ta được: $m^{2} + \frac{1}{m^{2}} \geq 2 \sqrt{m^{2} \cdot \frac{1}{m^{2}}} = 2$ (2) .

Tự (1) và $(2) \Rightarrow R \geq \sqrt{2} \Rightarrow$ Diện tích hình tròn là $S = π R^{2} \geq 2 π$ .

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} m \neq 0 \\ m^{2} = \frac{1}{m^{2}} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \Rightarrow M (3; 3) \\ m = - 1 \Rightarrow M (1; 1) \end{array}$

Vậy S đạt GTNN bằng $2 π$ khi M ( 1;1) hoặc M ( 3;3).

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 1; 2), B (- 1; 2; 3)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ . Tìm điểm M (a;b;c) thuộc d sao cho $M A^{2} + M B^{2} = 28$ biết c < 0.

A. $M (\frac{1}{6}; \frac{7}{6}; - \frac{2}{3})$

B. $M (- \frac{1}{6}; - \frac{7}{6}; - \frac{2}{3})$

C. $M (2; 3; 3)$

M (- 1; 0; - 3)

Lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;-1;2) B( -1;2;3) và đường thẳng (ảnh 1)

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 + t \\ z = 2 t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y + z - 1 = 0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua điểm A( 1;2;5) , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng $∆$ là $\frac{x - 1}{a} = \frac{y - 2}{b} = \frac{z - 5}{c}$ . Tính $a + b + c$ .

Xem đáp án

Lời giải

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d và $∆$ thì $M (2; 2 + t; 2 t)$ .

Ta có $\vec{A M} = (1; t; - 5 + 2 t)$ là véc tơ chì phương của đường thẳng $∆$ .

Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có véc tơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (2; 1; 1)$ .

Vì $Δ / / (P) \Rightarrow \vec{A M} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 5 + 2 t = 0 \Leftrightarrow t = 1$ . Vậy $\vec{A M} = (1; 1; - 3)$ .

Vậy phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm A( 1;2;5) là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 5}{- 3}$ .

Suy ra $a + b + c = 1 + 1 + (- 3) = - 1$ .

Câu 3

Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S = A . e^{n i}$ , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là số dân sau n năm, i là tỷ lệ phần trăm tăng dân số hàng năm. Biết rằng tại Việt Nam, năm 1993 dân số là 63 triệu người, năm 2017 dân số là 93 triệu người. Hỏi tỉ lệ tăng dân số ở Việt Nam hằng năm theo tỷ lệ là bao nhiêu?

A. $\ln \sqrt[34]{\frac{34}{21}}$

B. $\ln \sqrt[34]{\frac{35}{21}}$

\ln \sqrt[34]{\frac{31}{21}}

\ln \sqrt[34]{\frac{32}{21}}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:

Đám than đã vạc hẳn lửa. Mị không thổi cũng không đứng lên. Mị nhớ lại đời mình. Mị tưởng tượng như có thể một lúc nào, biết đâu A Phủ chẳng trốn được rồi, lúc đó bố con thống lí sẽ đổ là Mị đã cởi trói cho nó, Mị liền phải trói thay vào đấy. Mị chết trên cái cọc ấy. Nghĩ thế, nhưng làm sao Mị cũng không thấy sợ… Trong nhà tối bưng, Mị rón rén bước lại, A Phủ vẫn nhắm mắt. Nhưng Mị tưởng như A Phủ biết có người bước lại… Mị rút con dao nhỏ cắt lúa, cắt nút dây mây. A Phủ thở phè từng hơi, như rắn thở, không biết mê hay tỉnh. Lần lần, đến lúc gỡ được hết dây trói ở người A Phủ thì Mị cũng hốt hoảng. Mị chỉ thì thào được một tiếng "Đi đi…" rồi Mị nghẹn lại. A Phủ khuỵu xuống không bước nổi. Nhưng trước cái chết có thể đến nơi ngay, A Phủ lại quật sức vùng lên, chạy.

Mị đứng lặng trong bóng tối.

Trời tối lắm. Mị vẫn băng đi. Mị đuổi kịp A Phủ, đã lăn, chạy xuống tới lưng dốc.

(Vợ chồng A Phủ – Tô Hoài)

Trong đoạn trích trên, tại sao câu văn "Mị đứng lặng trong bóng tối." được tách thành một dòng riêng?

A. Diễn tả tâm lí Mị lo sợ sẽ bị cha con thống lí Pá Tra phát hiện

B. Thể hiện niềm khát khao sống, khát khao tự do của Mị rất mãnh liệt

C. Đánh dấu sự khép lại quãng đời tủi nhục và mở ra tương lai hạnh phúc của Mị

D. Mị phân vân, lưỡng lự khi chạy theo A Phủ

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:

Tuổi thiếu niên là tuổi của ước mơ và hoài bão. Nó gắn liền với khát vọng chinh phục thử thách và giải được mật mã cuộc đời. Khát vọng luôn xanh và cuộc sống luôn đẹp, nhưng trong một thời khắc nào đó, có thể nhiều bạn trẻ đã thấy cuộc đời như một mớ bòng bong của những điều bỡ ngỡ với bao trăn trở không dễ tỏ bày. Đi qua tuổi thơ, cuộc đời mở ra trước mắt bạn một hành trình dài, nhiều hoa hồng nhưng cũng không ít chông gai. Cuộc sống, với tất cả sự khắc nghiệt vốn có của nó, sẽ khiến cho bước chân bạn nhiều lần rướm máu. Và những giọt máu đó, hoặc sẽ thấm xuống con đường bạn đang đi và lưu lại đó dấu son của một vị anh hùng hoặc sẽ trở thành dấu chấm hết cho những khát vọng đoản mệnh của một kẻ nhụt tâm, chùn bước. Nhưng dù thế nào chăng nữa, bạn hãy nhớ rằng: để trưởng thành, những thử thách và thất bại bao giờ cũng là điều cần thiết.

(Theo Hạt giống tâm hồn dành cho tuổi teen, tập 2 – Nhiều tác giả, NXB Tổng hợp TP.Hồ Chí Minh, 2012)

Biện pháp tu từ nào được sử dụng trong câu "Đi qua tuổi thơ, cuộc đời mở ra trước mắt bạn một hành trình dài, nhiều hoa hồng nhưng cũng không ít chông gai”?

A. Ẩn du

B. Hoán dụ

C. Nhân hóa

D. So sánh

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz , cho các vectơ $\vec{a} = (- 2; - 3; 1)$ và $\vec{b} = (1; 0; 1)$ . Côsin góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng

A. $- \frac{3}{2 \sqrt{7}}$ .

B. $\frac{3}{2 \sqrt{7}}$ .

\frac{1}{2 \sqrt{7}}

- \frac{1}{2 \sqrt{7}}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Con đường mà Nguyễn Ái Quốc lựa chọn cho dân tộc Việt Nam là con đường theo khuynh hướng cách mạng nào?

A. Cách mạng tư sản.

B. Cách mạng dân chủ tư sản.

C. Cách mạng công nghiệp.

D. Cách mạng vô sản.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;−1;2),B(−1;2;3) và đường thẳng d:x−11=y−21=z−12. Tìm điểm M (a;b;c) thuộc d sao cho MA2+MB2=28 biết c < 0.

Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a→=(−2;−3;1) và b→=(1;0;1). Côsin góc giữa hai vectơ a→ và b→ bằng

Con đường mà Nguyễn Ái Quốc lựa chọn cho dân tộc Việt Nam là con đường theo khuynh hướng cách mạng nào?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 1; 2), B (- 1; 2; 3)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ . Tìm điểm M (a;b;c) thuộc d sao cho $M A^{2} + M B^{2} = 28$ biết c < 0.

Trong không gian Oxyz , cho các vectơ $\vec{a} = (- 2; - 3; 1)$ và $\vec{b} = (1; 0; 1)$ . Côsin góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng