Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{2 x + 3}$ (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ 0.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$y = \frac{x + 2}{2 x + 3} \Rightarrow y^{'} = \frac{- 1}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Gọi điểm M(x₀; y₀) $(x_{0} \neq \frac{- 3}{2})$ thuộc đồ thị hàm số (C).

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

$y = \frac{- 1}{{(2 x + 3)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{x_{0} + 2}{2 x_{0} + 3}$

Tiếp tuyến giao với trục hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y = x hoặc y = −x.

+) Trường hợp 1: d vuông góc với đường phân giác y = x thì ta được:

$\frac{- 1}{{(2 x + 3)}^{2}} \cdot (- 1) = - 1 \Leftrightarrow {(2 x_{0} + 3)}^{2} = - 1$

$[\begin{array}{l} 2 x_{0} + 3 = 1 \\ 2 x_{0} + 3 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \\ x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = 0 \end{array}$

Với x₀= −1; y₀ = 1 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: y = −x (loại)

Với x₀= −2; y₀ = 0 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là:

y = −x − 2
+) Trường hợp 2: d vuông góc với đường phân giác y = −x thì ta được:

$\frac{- 1}{{(2 x + 3)}^{2}} \cdot (- 1) = - 1 \Leftrightarrow {(2 x_{0} + 3)}^{2} = - 1$ (KTM)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −x – 2.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Vẽ đồ thị các hàm số y = –x ² và y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.

Xem đáp án

Lời giải

y = −x²

Với x = 0 ⇒ y = 0, với x = ±1 ⇒ y = −1

Đồ thị hàm số y = −x² có đỉnh là (0;0) và đi qua 2 điểm (1;−1) và (−1;−1)

y = x − 2

Với x = 0 ⇒ y = −2, với y = 0 ⇒ x = 2

Đồ thị hàm số y = x − 2 đi qua điểm (0;−2) và (2;0)

Đồ thị của hai hàm số như hình vẽ.

Vẽ đồ thị các hàm số y = –x ² và y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa độ. (ảnh 1)

Câu 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x²(x − 1)(x + 2)²(x − 2). Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương trình:

f'(x) = x²(x − 1)(x + 2)²(x − 2) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 2 \end{array}$

Hàm số đã cho không đạt cực trị tại điểm x = 0 vì là nghiệm bội hai của phương trình f'(x) = 0.

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 3