Câu hỏi:
11/07/2024 316Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[A = \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}}\].
Biết a + b + c = 6.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
• \[{(a + b)^2} \ge 4ab\]\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}}\,\,\,\,\,(1)\]
• \[{(b + c)^2} \ge 4bc\]\[ \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{4} \ge \frac{{bc}}{{b + c}}\,\,\,\,\,(2)\]
• \[{(c + a)^2} \ge 4ac\]\[ \Leftrightarrow \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ca}}{{c + a}}\,\,\,\,\,(3)\]
Cộng 3 vế (1); (2) và (3) ta có:
\[\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}}\]
Hay \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{(a + b) + (b + c) + (c + a)}}{4}\]
Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{2(a + b + c)}}{4}\]
Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
Do đó, giá trị lớn nhất của A = 3 Û a = b = c = 2.
Vậy giá trị lớn nhất của A = 3.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d?
Câu 2:
Cho A = (m; m + 1); B = (1; 4). Tìm m để \[A \cap B \ne \emptyset \].
Câu 3:
Cho hai tập hợp A = [−2; 3] ; B = (m; m + 6). Tìm điều kiện để A ⊂ B.
Câu 4:
Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α biết \[\sin \,\alpha = \frac{1}{3}\] và 90° < α < 180°.
Câu 5:
Gieo đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
Câu 6:
Cho \[\sin \alpha = \frac{2}{3}\]. Tính cos α, tan α biết 0 < α < 90º.
Câu 7:
Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – m + 1.
a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 4.
b) Tìm m để (d) cắt (P) tạo hai điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x1 = 9x2.
về câu hỏi!