Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: \[{2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt sin² x = a, a Î [0;1]

Bất phương trình trở thành:

2^a + 3^1-a ≥ m.3^a

\[ \Leftrightarrow m \le \frac{{{2^a} + {3^{1 - a}}}}{{{3^a}}}\] (1)

Xét phương trình: \[f(a) = \frac{{{2^a} + {3^{1 - a}}}}{{{3^a}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^a} + {3^{1 - 2a}}\] với a Î [0;1]

Ta có: \[f'(a) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^a}.\ln \frac{2}{3} - 2.\ln {3.3^{1 - 2a}} < 0\] với mọi a Î [0;1]

Þ Hàm số nghịch biến trên [0;1]

\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{[}}0\,;\,\,1]} f(a) = f(0) = 4\]

Vậy bất phương trình \[{2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}\] có nghiệm với a £ 4.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số y = ax³+ bx²+ cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d?

Xem đáp án

Lời giải

Từ đồ thị ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0\]

Gọi x₁ và x₂ lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho (x₁< x₂)

Từ đồ thị ta thấy: x₁ + x₂ > 0

Þ ab < 0 Þ b > 0

Lại có: x₁.x₂ > 0 Þ ac > 0 Þ c > 0

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ y

Þ d > 0

Vậy trong các số a, b, c, d có 2 số dương.

Câu 2

Cho A = (m; m + 1); B = (1; 4). Tìm m để \[A \cap B \ne \emptyset \].

Xem đáp án

Lời giải

Để \[A \cap B \ne \emptyset \] thì \[\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 1\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 4\end{array} \right.\]

Vậy để \[A \cap B \ne \emptyset \] thì m Î (0; 4).

Câu 3