Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: \[{2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}\].

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt sin² x = a, a Î [0;1]

Bất phương trình trở thành:

2^a + 3^1-a ≥ m.3^a

\[ \Leftrightarrow m \le \frac{{{2^a} + {3^{1 - a}}}}{{{3^a}}}\] (1)

Xét phương trình: \[f(a) = \frac{{{2^a} + {3^{1 - a}}}}{{{3^a}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^a} + {3^{1 - 2a}}\] với a Î [0;1]

Ta có: \[f'(a) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^a}.\ln \frac{2}{3} - 2.\ln {3.3^{1 - 2a}} < 0\] với mọi a Î [0;1]

Þ Hàm số nghịch biến trên [0;1]

\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{a \in {\rm{[}}0\,;\,\,1]} f(a) = f(0) = 4\]

Vậy bất phương trình \[{2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}\] có nghiệm với a £ 4.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Từ đồ thị ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0\]

Gọi x₁ và x₂ lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho (x₁< x₂)

Từ đồ thị ta thấy: x₁ + x₂ > 0

Þ ab < 0 Þ b > 0

Lại có: x₁.x₂ > 0 Þ ac > 0 Þ c > 0

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ y

Þ d > 0

Vậy trong các số a, b, c, d có 2 số dương.

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Gọi kích thước của miếng tôn như hình vẽ.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\[{a^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{4 - {b^2}}}{4} \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt {4 - {b^2}} }}{2}\]

Khi đó diện tích miếng tôn hình chữ nhật là:

\[S = ab = \frac{{b\sqrt {4 - {b^2}} }}{2}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có:

\[{b^2} + \sqrt {{{\left( {4 - {b^2}} \right)}^2}} \ge 2b\sqrt {4 - {b^2}} \]

\[ \Leftrightarrow b\sqrt {4 - {b^2}} \le \frac{{{b^2} + 4 - {b^2}}}{2} = 2\]

\[ \Rightarrow S = \frac{{b\sqrt {4 - {b^2}} }}{2} \le 1\]

Dấu “=” xảy ra \[b = \sqrt {4 - {b^2}} \Leftrightarrow {b^2} = 4 - {b^2} \Leftrightarrow b = \sqrt 2 \]

Vậy diện tích lớn nhất có thể là 1m².

Câu 3