Tính tổng \(S = {3^{2015}}.C_{2015}^0 - {3^{2014}}.C_{2015}^2 + {3^{2013}}.C_{2015}^2 - ... + 3C_{2015}^{2014} - C_{2015}^{2015}\).

a) Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC và AO là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Do đó ∆ABC cân tại A có AO là phân giác đồng thời là đường cao, hay AO ⊥ BC.

b) Vì ∆BCD nội tiếp đường tròn (O) nên ∆BCD vuông tại C

Do đó CD ⊥ BC

Mà AO ⊥ BC nên CD // AO.

c) Vì ∆AOB vuông tại B nên theo định lý Pythagore có:

\[AB = \sqrt {A{O^2} - B{O^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\]

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO có:

⦁ AB² = AH . AO \( \Rightarrow AH = \frac{{A{B^2}}}{{AO}} = \frac{{16}}{5} = 3,2\)

⦁ \(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}\). Suy ra BH = 2,4

Do đó BC = 2AH = 2 . 2,4 = 4,8

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 4 + 4 + 4,8 = 12,8 (cm).

Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.3,2.4,8 = 7,68\) (cm²).

d) Vì AO // CD nên \(\widehat {BOA} = \widehat {O{\rm{D}}E}\) (hai góc đồng vị)

Xét ∆ABO và ∆EOD có

\(\widehat {ABO} = \widehat {EO{\rm{D}}}\left( { = 90^\circ } \right)\);

BO = DO;

\(\widehat {BOA} = \widehat {O{\rm{D}}E}\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆ABO = ∆EOD (g.c.g)

Do đó AB = EO (hai cạnh tương ứng)

Mà AB // EO (vì cùng vuông góc với BD)

Nên ABOE là hình bình hành

Lại có \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) nên hình bình hành ABOE là hình chữ nhật.

Suy ra \(\widehat {A{\rm{E}}O} = 90^\circ \) hay OE ⊥ AI

Xét tam giác AIO có hai đường cao OE và AC cắt nhau tại G

Suy ra G là trực tâm, nên OA ⊥ GI

Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\)

Do đó \(\widehat {I{\rm{O}}A} = \widehat {BOA}\)

Mà \(\widehat {O{\rm{D}}E} = \widehat {BOA}\) suy ra \(\widehat {I{\rm{O}}A} = \widehat {ODE}\)           (1)

Ta có EO ⊥ AI, EO ⊥ OD suy ra AE // OD

Mà AO // ED nên AODE là hình bình hành

Suy ra \(\widehat {O{\rm{D}}E} = \widehat {OA{\rm{E}}}\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {I{\rm{O}}A} = \widehat {OAE}\)

Do đó tam giác AOI cân tại I

Lại có IG là đường cao

Suy ra IG là đường trung trực của AO

Vậy IG là đường trung trực của AO.