Câu hỏi:

19/08/2025 684 Lưu

Giải phương trình: \(\frac{{\sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} }}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 4c{\rm{osx}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Điều kiện: sinx ≠ 0

Ta có: \(\frac{{\sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} }}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 4c{\rm{osx}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} = 4c{\rm{osxsinx}}\)

\[ \Rightarrow {\left( {\sqrt {1 - \sin 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + \sin 2{\rm{x}}} } \right)^2} = {\left( {2.2c{\rm{osxsinx}}} \right)^2}\] với sinxcosx > 0

\[ \Leftrightarrow 1 - \sin 2{\rm{x}} + 1 + \sin 2{\rm{x + 2}}\sqrt {\left( {1 - \sin 2{\rm{x}}} \right)\left( {1 + \sin 2{\rm{x}}} \right)} = {\left( {2{\rm{sin2x}}} \right)^2}\] với sin2x > 0

\[ \Leftrightarrow 2{\rm{ + 2}}\sqrt {1 - {{\sin }^2}2x} = 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2x}}\] với sin2x > 0

\[ \Leftrightarrow 1{\rm{ + }}\sqrt {{{\cos }^2}2x} = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{2x}}\] với sin2x > 0

1 + |cos2x| = 2 – cos22x, với sin2x > 0

2|cos2x|2 + |cos2x| – 1 = 0, với sin2x > 0

Đặt |cos2x| = t (t ≥ 0), ta có phương trình:

2t2 + t – 1 = 0 (2t – 1)(t + 1) = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left| {cos2{\rm{x}}} \right| = \frac{1}{2}\) nên \(co{s^2}2{\rm{x}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {\sin ^2}2x = \frac{3}{4}\)

Mà sin2x > 0 nên \(\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2{\rm{x}} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + k\pi \\{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy \({\rm{x}} = \frac{\pi }{6} + k\pi ;{\rm{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi \).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Gọi x là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (x ≥ 0).

Gọi y là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (y ≥ 0).

Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên x ≤ 600 và y ≤ 500.

Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B nên:

400 ≤ x + y ≤ 1000

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn \(\frac{1}{2}\) số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3{\rm{x}}\end{array} \right.\)

Ta có hệ bất phương trình giữa x và y: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x \le 600\\y \le 500\\x + y \ge 400\\x + y \le 1000\\y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3{\rm{x}}\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

− Biểu diễn miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≤ 600

+ Vẽ đường thẳng d1: x = 600 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

+ Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta được 0 ≤ 600 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x ≤ 600

Vậy miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≤ 600 là nửa mặt phẳng bờ d1 (kể cả bờ d1) chứa điểm O.

Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

− Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≤ 500: là nửa mặt phẳng bờ d2 (kể cả bờ d2: y = 500) chứa điểm O.

− Miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≥ 400: là nửa mặt phẳng bờ d3 (kể cả bờ d3: x + y = 400) không chứa điểm O.

− Miền nghiệm D4 của bất phương trình x + y ≤ 1000: là nửa mặt phẳng bờ d4 (kể cả bờ d4: x + y = 1000) chứa điểm O.

− Miền nghiệm D5 của bất phương trình \(y \ge \frac{1}{2}x\): là nửa mặt phẳng bờ d5 (kể cả bờ d5\(y = \frac{1}{2}x\) ) chứa điểm M(0; 50).

− Miền nghiệm D6 của bất phương trình y ≤ 3x: là nửa mặt phẳng bờ d6 (kể cả bờ d6: y = 3x) không chứa điểm M (0; 50).

Ta có đồ thị sau:

Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối (ảnh 1)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của đa giác ABCDEF với: \(A\left( {100;300} \right),B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right),C\left( {500;500} \right),D\left( {600;400} \right),E\left( {600;300} \right);F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right)\)

Số tiền trả cho x đơn vị vitamin A và y đơn vị vitamin B là: F(x; y) = 9x + 7,5y

Để có số tiền phải trả là ít nhất thì F(x; y) phải nhỏ nhất

Tại A(100; 300): F = 9.100 + 7,5. 300 = 3150;

Tại \(B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right):F = 9.\frac{{500}}{3} + 7,5.500 = 5250\)

Tại C(500; 500): F = 9. 500 + 7,5. 500 = 8250;

Tại D(600, 400): F = 9. 600 + 7,5. 400 = 8400;

Tại E(600, 300): F = 9. 600 + 7,5. 300 = 7650;

Tại \(F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right):F = 9.\frac{{800}}{3} + 7,5.\frac{{400}}{3} = 3400\).

Suy ra F(x; y) nhỏ nhất là 3150 khi x = 100 và y = 300

Do đó mỗi người sẽ dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo các điều kiện số lượng sử dụng và chi phí phải trả là ít nhất

Vậy ta chọn đáp án D.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông (ảnh 1)

Vì độ dài đường tròn là 4π nên 4π = 2π . R

Suy ra R = 2 (cm)

Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO và BC vuông góc với nhau tại trung điểm M nên ABOC là hình thoi

Suy ra OB = OC = AB

Do đó tam giác ABO đều nên \(\widehat {AOB} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2.60^\circ = 120^\circ \)

Do đó số đo cung lớn BC là 360° – 120° = 240°

Độ dài cung lớn BC là \(l = \frac{{\pi .2.240^\circ }}{{180^\circ }} = \frac{{8\pi }}{3}\) (cm)

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP