Cho phương trình \(\left( {\log _2^2x - {{\log }_2}\frac{{{x^3}}}{4}} \right)\sqrt {{e^x} - m} = 0\). Gọi S là tập hợp giá trị m nguyên với m Î [−10; 10] để phương trình có đúng 2 nghiệm. Tính tổng giá trị các phần tử của S.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{e^x} - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{e^x} \ge m\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left( {\log _2^2x - {{\log }_2}\frac{{{x^3}}}{4}} \right)\sqrt {{e^x} - m} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\log _2^2x - 3{{\log }_2}x + 2} \right)\sqrt {{e^x} - m} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0\\{e^x} - m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = 2\\{e^x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\\{e^x} = m\end{array} \right.\)

Để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thì:

+) TH1: m ≤ 0

+) TH2: m > 0

Khi đó nghiệm của phương trình đã cho là: \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\\x = \ln m\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

\(\left[ \begin{array}{l}\ln m = 0\\2 \le \ln m < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\{e^2} \le m < {e^4}\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện m Î ℤ, m Î [−10; 10] ta suy ra:

m Î {−10; −9; −8; …; −1; 1; 8; 9; 10} = S

Vậy tổng các phần tử của S bằng −27.