Gọi S là tập hợp giá trị của m sao cho 10m Î ℤ và phương trình \(2{\log _{mx - 5}}\left( {2{x^2} - 5x + 4} \right) = {\log _{\sqrt {mx - 5} }}\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)\) có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.

Ta có: 2x² − 5x + 4 > 0 với mọi x nên phương trình:

\(2{\log _{mx - 5}}\left( {2{x^2} - 5x + 4} \right) = {\log _{\sqrt {mx - 5} }}\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{\log _{mx - 5}}\left( {2{x^2} - 5x + 4} \right) = 2{\log _{mx - 5}}\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx - 5 > 0\\mx - 5 \ne 1\\{x^2} + 2x - 6 > 0\\2{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 2x - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 5\\mx \ne 6\\{x^2} + 2x - 6 > 0\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 5\\mx \ne 6\\{x^2} + 2x - 6 > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 5\\mx \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Phương trình có nghiệm duy nhất tương đương với ta nhận nghiệm x = 2 và loại x = 5 hoặc nhận nghiệm x = 5 và loại x = 2.

+ Trường hợp 1: Nhận nghiệm x = 2 và loại x = 5

Điều này tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}2m > 5\\2m \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}5m \le 5\\5m = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{5}{2}\\m \ne 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m = \frac{6}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\) (vô lí)

+ Trường hợp 2: Nhận nghiệm x = 5 và loại x = 2

Điều này tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}5m > 5\\5m \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}2m \le 5\\2m = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \ne \frac{6}{5}\\\left[ \begin{array}{l}m \le \frac{5}{2}\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\\left\{ \begin{array}{l}1 < m \le \frac{5}{2}\\m \ne \frac{6}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}10m = 30\\\left\{ \begin{array}{l}10 < 10m \le 25\\m \ne 12\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vì 10m Î ℤ nên 10m Î {11; 13; 14; …; 25} È {30}

Trong tập hợp này có 15 phần tử nên tập hợp S cũng có 15 phần tử.