Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−3; 0), B(3; 0) và C(2; 6). Gọi H(a; b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b.  

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;\;b} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 3;\;b} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;\;6} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {5;\;6} \right)\end{array} \right.\)

Từ giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} \,.\,\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 3} \right)\,.\,\left( { - 1} \right) + b\,.\,6 = 0\\\left( {a - 3} \right)\,.\,5 + b\,.\,6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 6b = 3\\5a + 6b = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = \frac{5}{6}\end{array} \right.\)

Vậy: \(a + 6b = 2 + 6\,.\,\frac{5}{6} = 7\).