Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\;\left( {a,\;b,\;c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương?

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = 2 \Rightarrow - \frac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow c = - 2b\)

TCN: \(y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞)

Û y′ > 0, "x ¹ 2

\( \Leftrightarrow \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0,\;\forall x \ne 2\)

Û ac − b > 0

Û b.( −2b) − b > 0

Û −2b² − b > 0

Û 2b² + b < 0

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < b < 0\)

Þ b < 0 Þ a < 0, c > 0

Vậy trong ba số a, b, c có 1 số dương.