Cho hàm số $y = \frac{{\left( {4 - m} \right)\sqrt {6 - x} + 3}}{{\sqrt {6 - x} + m}}$. Tính số giá trị nguyên của m, trong khoảng (−10; 10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (−8; 5).

Do đó hàm số $y = \frac{{\left( {4 - m} \right)\sqrt {6 - x} + 3}}{{\sqrt {6 - x} + m}}$ đồng biến trên khoảng (−8; 5) khi và chỉ khi hàm số $y = f\left( t \right) = \frac{{\left( {4 - m} \right)t + 3}}{{t + m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;\;\sqrt {14} } \right)$

Khi đó f ¢(t) < 0, $\forall t \in \left( {1;\;\sqrt {14} } \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m - 3 < 0\\ - m \notin \left( {1;\;\sqrt {14} } \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m \le - \sqrt {14} \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\ - 1 \le m < 1\\m \le - \sqrt {14} \end{array} \right.$

Vì m nguyên, m Î (−10; 10) nên

+ Với m > 3 thì m Î {4; 5; 6; 7; 8; 9}, có 6 giá trị

+ Với −1 ≤ m < 1 thì có m Î {−1; 0}, có 2 giá trị

+ Với $m \le - \sqrt {14} \Rightarrow m \le - 4$ thì có m Î {−9; −8; −7; −6; −5; −4}, có 6 giá trị.

Vậy có 14 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.