Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a};$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b};$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a};$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}.$

Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số $P=d^{\frac{3}{2}},$ trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.

Rút gọn mỗi biểu thức sau: $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}\left(a>0;a\ne 1\right);$

Rút gọn mỗi biểu thức sau: $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^6}}\left(a>0,b>0\right).$

Tính giá trị của biểu thức: $M={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5}+{\left(0,4\right)}^{-4}\cdot {25}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{32}\right)}^{-1}.$