Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q.

a) Chứng minh MN song song với PQ.

b) Gọi E là giao điểm của AM và BP, F là giao điểm của CQ và DN. Chứng minh EF song song với MN và PQ.

a) Ta có S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S ∈ (SAD) ∩ (SBC),

Mặt khác, AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) và AD // BC (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra (SAD) ∩ (SBC) = d với d là đường thẳng đi qua S, d //AD // BC.

b) Ta có M ∈ SA, mà SA ∈ (SAB) nên M ∈ (SAB);

Lại có M ∈ (MDC)

Nên M ∈ (SAB) ∩ (MDC).

Ta có AB ⊂ (SAB), DC ⊂ (MDC) và AB // DC (do ABCD là hình bình hành).

Suy ra (SAB) ∩ (MDC) = Mx với Mx // AB // DC.

Gọi N là giao điểm của SB và Mx.

Khi đó (SAB) ∩ (MDC) = MN.

a) • S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S ∈ (SAB) ∩ (SDC).

Mặt khác có AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SDC) và AB // CD (do ABCD là hình thang)

Suy ra (SAB) ∩ (SCD) = d₁ với d₁ là đường thẳng đi qua S và d₁ // AB // CD.

• Ta có M ∈ SD, mà SD ∈ (SCD) nên M ∈ (SCD)

Lại có M ∈ (MAB)

Suy ra (SCD) ∩ (MAB) = M

Mặt khác có AB ⊂ (MAB), CD ⊂ (SCD) và AB // CD

Suy ra (SCD) ∩ (MAB) = d₂ với d₂ là đường thẳng đi qua M và d₂ // AB // CD.

b) Theo câu a, ta có d₁ // AB // CD và d₂ // AB // CD

Suy ra d₁ // d₂.