Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},$  I; J lần lượt là trung điểm của BD, CD.

a) Chứng minh rằng MN // BC.

b) Tứ giác MNJI là hình gì. Tìm điểu kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành.

a) Ta có S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S ∈ (SAD) ∩ (SBC),

Mặt khác, AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) và AD // BC (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra (SAD) ∩ (SBC) = d với d là đường thẳng đi qua S, d //AD // BC.

b) Ta có M ∈ SA, mà SA ∈ (SAB) nên M ∈ (SAB);

Lại có M ∈ (MDC)

Nên M ∈ (SAB) ∩ (MDC).

Ta có AB ⊂ (SAB), DC ⊂ (MDC) và AB // DC (do ABCD là hình bình hành).

Suy ra (SAB) ∩ (MDC) = Mx với Mx // AB // DC.

Gọi N là giao điểm của SB và Mx.

Khi đó (SAB) ∩ (MDC) = MN.

a) • S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S ∈ (SAB) ∩ (SDC).

Mặt khác có AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SDC) và AB // CD (do ABCD là hình thang)

Suy ra (SAB) ∩ (SCD) = d₁ với d₁ là đường thẳng đi qua S và d₁ // AB // CD.

• Ta có M ∈ SD, mà SD ∈ (SCD) nên M ∈ (SCD)

Lại có M ∈ (MAB)

Suy ra (SCD) ∩ (MAB) = M

Mặt khác có AB ⊂ (MAB), CD ⊂ (SCD) và AB // CD

Suy ra (SCD) ∩ (MAB) = d₂ với d₂ là đường thẳng đi qua M và d₂ // AB // CD.

b) Theo câu a, ta có d₁ // AB // CD và d₂ // AB // CD

Suy ra d₁ // d₂.