Cho hàm số f(x) = 2sin2x+π4 . Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Ta có: f'(x)=2.2sinx+π4.sinx+π4' =4sinx+π4cosx+π4=2sin2x+π2. Khi đó f''x=2.2x+π2'.cos2x+π2=4cos2x+π2 . Vì cos2x+π2≤1 với mọi x nên 4cos2x+π2≤4 với mọi x. Vậy |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Câu hỏi:

13/07/2024 3,456

Cho hàm số f(x) = $2 \sin^{2} (x + \frac{π}{4})$ . Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 33. Đạo hàm cấp hai có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$f^{'} (x) = 2.2 \sin (x + \frac{π}{4}) . {[\sin (x + \frac{π}{4})]}^{'}$

$= 4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4}) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2})$ .

Khi đó ${f^{'}}^{'} (x) = 2. {(2 x + \frac{π}{2})}^{'} . \cos (2 x + \frac{π}{2}) = 4 \cos (2 x + \frac{π}{2})$ .

Vì $|\cos (2 x + \frac{π}{2})| \leq 1$ với mọi x nên $4 |\cos (2 x + \frac{π}{2})| \leq 4$ với mọi x.

Vậy |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 11 Toán

152 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

20 câu 2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Vật lý

197 người thi tuần này

Trắc nghiệm Mô tả sóng lớp 11 (có đáp án)

10 câu 6.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Hóa học

348 người thi tuần này

Trắc nghiệm Khái niệm về cân bằng hoá học lớp 11 (có đáp án - phần 1)

15 câu 10.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tiếng Anh

142 người thi tuần này

Đề cương ôn tập giữa kì 1 Tiếng Anh 11 Global Success có đáp án

50 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Sinh học

154 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Sinh học 11 Kết nối tri thức Bài 8 có đáp án

15 câu 3.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Lịch sử

1,460 người thi tuần này

25 câu Trắc nghiệm Lịch Sử 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

25 câu 20.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tin học

849 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Tin học 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 9.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

166 người thi tuần này

16 câu Trắc nghiệm Kinh tế pháp luật 11 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

16 câu 3.9 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) = 10 + 0,5sin $(2 π t + \frac{π}{5})$ , trong đó s tính bằng centimet và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem đáp án

Lời giải

Vận tốc tại thời điểm t là:

v(t) = s'(t) = 0,5.2πcos $(2 π t + \frac{π}{5})$ = πcos $(2 π t + \frac{π}{5})$ .

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

a(t) = v'(t) = –π.2πsin $(2 π t + \frac{π}{5})$ = –2π²sin $(2 π t + \frac{π}{5})$ .

Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là:

a(5) = –2π²sin $(2 π .5 + \frac{π}{5})$ ≈ –11,6 (cm/s²).

Câu 2

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = xe^2x;

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có y = xe^2x

Suy ra: y' = x' . e^2x + x . (e^2x)' = e^2x + 2xe^2x.

Do đó, y'' = 2e^2x + 2(e^2x + 2xe^2x) = 2e^2x + 2e^2x + 4xe^2x = 4e^2x + 4xe^2x.

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là y'' = 4e^2x + 4xe^2x.

Câu 3