Cho hàm số y = (3m + 1)x – 2m.

a) Tìm điều kiện của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng song song với đường thẳng y = –2x + 5.

c) Với m tìm được ở câu b), hãy vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Lời giải

a)Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).

Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC.

Do đó, \(\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = 90^\circ \).

Xét tứ giác AFHE có: \(\widehat {BAC} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = 90^\circ \).

Do đó, tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

Suy ra AH = FE (hai đường chéo bằng nhau).

b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên \(\widehat {FHE} = 90^\circ \).

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên

AM = MB = MC = \(\frac{1}{2}BC\).

Tam giác AMB có AM = MB nên tam giác AMB cân tại M.

Do đó, \(\widehat {MAB} = \widehat B\).

Lại có \(\widehat B = \widehat {AHE}\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {HEB}} \right)\).

Nên \(\widehat {MAB} = \widehat {AHE}\) (1).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE.

Do đó, OH = OE = OF = OA.

Tam giác OAE có OA = OE nên tam giác OAE cân tại O.

Suy ra \(\widehat {OEA} = \widehat {OAE}\).

Mà AE song song với FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên \(\widehat {OHF} = \widehat {OAE}\) (hai góc so le trong).

Do đó, \(\widehat {OEA} = \widehat {OHF}\) (2).

Lại có \(\widehat {OHF} + \widehat {OHE} = \widehat {FHE} = 90^\circ \) (3).

Từ (1), (2), (3) ta có: \[\widehat {MAB} + \widehat {OEA} = 90^\circ \].

Gọi K là giao điểm của AM và EF. Khi đó, \[\widehat {KAE} + \widehat {KEA} = 90^\circ \]. Suy ra \(\widehat {AKE} = 90^\circ \).

Vậy AM vuông góc với EF tại K.

Lời giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).

Vì P, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra PN // AB.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC.

Xét tứ giác AMNP có:

NP // AM (do PN // AB),

NM // AP (do MN // AC).

Do đó, tứ giác AMNP là hình bình hành.

Mà \(\widehat {PAM} = 90^\circ \) (do \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)) nên tứ giác AMNP là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BMKP có:

BM // KP (do PN // AB),

BP // KM (gt).

Nên tứ giác BMKP là hình bình hành.

c) Ta có \(PN = \frac{1}{2}AB = AM = MB\) (do PN là đường trung bình của tam giác ABC và M là trung điểm của AB).

Vì tứ giác BMKP là hình bình hành nên KP = MB.

Do đó, KP = PN. Suy ra P là trung điểm của KN.

Vì PN song song với AB (cmt) mà AB vuông góc với AC nên KN vuông góc với AC tại P.

Tứ giác ANCK có hai đường chéo AC và KN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường nên ANCK là hình bình hành.

Mà KN vuông góc với AC tại P.

Do đó, tứ giác ANCK là hình thoi.

d) Để hình thoi ANCK là hình vuông thì AC = KN.

Mà KN = 2PN = \(2 \cdot \frac{1}{2}AB\) = AB.

Do đó, AC = AB. Mà tam giác ABC vuông tại A. Do đó, tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy khi tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác ANCK là hình vuông.