Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a) AE . AB = AF . AC.
b) ∆ADE ᔕ ∆AHC và ∆ANF ᔕ ∆AMB.
Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a) AE . AB = AF . AC.
b) ∆ADE ᔕ ∆AHC và ∆ANF ᔕ ∆AMB.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 8 KNTT Bài tập ôn tập cuối năm có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).
Vì HE, HF vuông góc với AB, AC nên ta có:
\(\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = 90^\circ \).
Tam giác HEA và tam giác BHA có:
\(\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAH}\) chung
Do đó, ∆HEA ᔕ ∆BHA (g.g).
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên AE . AB = AH2 (1).
Tam giác HFA và tam giác CHA có:
\(\widehat {HFA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\(\widehat {CAH}\) chung
Do đó, ∆HFA ᔕ ∆CHA (g.g).
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên AF . AC = AH2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra AE . AB = AF . AC.
b) Vì AE . AB = AF . AC nên \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\).
Tam giác AEF và tam giác ACB có:
\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\)
\(\widehat {BAC}\) chung
Do đó, ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat C\).
Tam giác AED và tam giác ACH có:
\(\widehat {ADE} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\(\widehat {AEF} = \widehat C\) (cmt)
Do đó, ∆ADE ᔕ ∆AHC (g.g).
Suy ra \(\widehat {EAD} = \widehat {CAH}\).
Do đó, \(\widehat {NAF} = \widehat {CAH} = \widehat {EAD} = \widehat {MAB}\).
Hai tam giác ANF và AMB có:
\(\widehat {NAF} = \widehat {MAB}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AFN} = \widehat {AFE} = \widehat {ABC} = \widehat {ABM}\) (do ∆AEF ᔕ ∆ACB)
Do đó ∆ANF ᔕ ∆AMB (g.g).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
a)Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).
Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC.
Do đó, \(\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = 90^\circ \).
Xét tứ giác AFHE có: \(\widehat {BAC} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = 90^\circ \).
Do đó, tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
Suy ra AH = FE (hai đường chéo bằng nhau).
b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên \(\widehat {FHE} = 90^\circ \).
Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên
AM = MB = MC = \(\frac{1}{2}BC\).
Tam giác AMB có AM = MB nên tam giác AMB cân tại M.
Do đó, \(\widehat {MAB} = \widehat B\).
Lại có \(\widehat B = \widehat {AHE}\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {HEB}} \right)\).
Nên \(\widehat {MAB} = \widehat {AHE}\) (1).
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE.
Do đó, OH = OE = OF = OA.
Tam giác OAE có OA = OE nên tam giác OAE cân tại O.
Suy ra \(\widehat {OEA} = \widehat {OAE}\).
Mà AE song song với FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên \(\widehat {OHF} = \widehat {OAE}\) (hai góc so le trong).
Do đó, \(\widehat {OEA} = \widehat {OHF}\) (2).
Lại có \(\widehat {OHF} + \widehat {OHE} = \widehat {FHE} = 90^\circ \) (3).
Từ (1), (2), (3) ta có: \[\widehat {MAB} + \widehat {OEA} = 90^\circ \].
Gọi K là giao điểm của AM và EF. Khi đó, \[\widehat {KAE} + \widehat {KEA} = 90^\circ \]. Suy ra \(\widehat {AKE} = 90^\circ \).
Vậy AM vuông góc với EF tại K.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
a) Hàm số y = (3m + 1)x – 2m là hàm số bậc nhất khi 3m + 1 ≠ 0, tức là m ≠ \(\frac{{ - 1}}{3}\).
b) Vì đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng song song với đường thẳng y = –2x + 5 nên
3m + 1 = –2 và –2m ≠ 5.
Tức là m = –1 và m ≠ \(\frac{{ - 5}}{2}\). Suy ra m = – 1.
Vậy m = – 1.
c) Với m = –1, ta có y = –2x + 2.
Đồ thị hàm số y = –2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 2), B(1; 0) như hình dưới đây.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập