Câu hỏi:
11/07/2024 2,552Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a) AE . AB = AF . AC.
b) ∆ADE ᔕ ∆AHC và ∆ANF ᔕ ∆AMB.
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).
Vì HE, HF vuông góc với AB, AC nên ta có:
\(\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = 90^\circ \).
Tam giác HEA và tam giác BHA có:
\(\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAH}\) chung
Do đó, ∆HEA ᔕ ∆BHA (g.g).
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên AE . AB = AH2 (1).
Tam giác HFA và tam giác CHA có:
\(\widehat {HFA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\(\widehat {CAH}\) chung
Do đó, ∆HFA ᔕ ∆CHA (g.g).
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên AF . AC = AH2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra AE . AB = AF . AC.
b) Vì AE . AB = AF . AC nên \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\).
Tam giác AEF và tam giác ACB có:
\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\)
\(\widehat {BAC}\) chung
Do đó, ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat C\).
Tam giác AED và tam giác ACH có:
\(\widehat {ADE} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\(\widehat {AEF} = \widehat C\) (cmt)
Do đó, ∆ADE ᔕ ∆AHC (g.g).
Suy ra \(\widehat {EAD} = \widehat {CAH}\).
Do đó, \(\widehat {NAF} = \widehat {CAH} = \widehat {EAD} = \widehat {MAB}\).
Hai tam giác ANF và AMB có:
\(\widehat {NAF} = \widehat {MAB}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AFN} = \widehat {AFE} = \widehat {ABC} = \widehat {ABM}\) (do ∆AEF ᔕ ∆ACB)
Do đó ∆ANF ᔕ ∆AMB (g.g).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) EF = AH.
b) AM ⊥ EF.
Câu 2:
Cho hàm số y = (3m + 1)x – 2m.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng song song với đường thẳng y = –2x + 5.
c) Với m tìm được ở câu b), hãy vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Từ M kẻ đường thẳng song song với BP, đường thẳng này cắt NP tại K.
a) Tứ giác AMNP là hình gì?
b) Chứng minh tứ giác BMKP là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác ANCK là hình thoi.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCK là hình vuông.
Câu 4:
Cho phân thức đại số \(P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}}\).
a) Tìm điều kiện xác định của phân thức.
b) Rút gọn phân thức đã cho.
c) Sử dụng kết quả câu b), tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của phân thức P đã cho là số nguyên.
Câu 5:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 + y3 + 5x + 5y;
b) 16x2 + 8xy + y2 – 4x2.
Câu 6:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 10 cm, cạnh bên SD = 15 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh SO ⊥ MN. Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.
b) Tính thể tích của hình chóp.
c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 KNTT có đáp án (Đề 1)
10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
10 Bài tập Các bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Pythagore (có lời giải)
10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)
Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 2)
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 1: Đơn thức có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận