Câu hỏi:

11/07/2024 2,722

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) AE . AB = AF . AC.

b) ∆ADE ∆AHC và ∆ANF ∆AMB.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Vì HE, HF vuông góc với AB, AC nên ta có:

\(\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = 90^\circ \).

Tam giác HEA và tam giác BHA có:

\(\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH}\) chung

Do đó, ∆HEA ∆BHA (g.g).

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên AE . AB = AH2 (1).

Tam giác HFA và tam giác CHA có:

\(\widehat {HFA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {CAH}\) chung

Do đó, ∆HFA ∆CHA (g.g).

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên AF . AC = AH2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra AE . AB = AF . AC.

b) Vì AE . AB = AF . AC nên \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\).

Tam giác AEF và tam giác ACB có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\)

\(\widehat {BAC}\) chung

Do đó, ∆AEF ∆ACB (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat C\).

Tam giác AED và tam giác ACH có:

\(\widehat {ADE} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {AEF} = \widehat C\) (cmt)

Do đó, ∆ADE ∆AHC (g.g).

Suy ra \(\widehat {EAD} = \widehat {CAH}\).

Do đó, \(\widehat {NAF} = \widehat {CAH} = \widehat {EAD} = \widehat {MAB}\).

Hai tam giác ANF và AMB có:

\(\widehat {NAF} = \widehat {MAB}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AFN} = \widehat {AFE} = \widehat {ABC} = \widehat {ABM}\) (do ∆AEF ∆ACB)

Do đó ∆ANF ∆AMB (g.g).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) EF = AH.

b) AM EF.

Xem đáp án » 11/07/2024 7,819

Câu 2:

Cho hàm số y = (3m + 1)x – 2m.

a) Tìm điều kiện của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng song song với đường thẳng y = –2x + 5.

c) Với m tìm được ở câu b), hãy vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Xem đáp án » 11/07/2024 6,227

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Từ M kẻ đường thẳng song song với BP, đường thẳng này cắt NP tại K.

a) Tứ giác AMNP là hình gì?

b) Chứng minh tứ giác BMKP là hình bình hành.

c) Chứng minh tứ giác ANCK là hình thoi.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCK là hình vuông.

Xem đáp án » 11/07/2024 5,331

Câu 4:

Cho phân thức đại số \(P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}}\).

a) Tìm điều kiện xác định của phân thức.

b) Rút gọn phân thức đã cho.

c) Sử dụng kết quả câu b), tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của phân thức P đã cho là số nguyên.

Xem đáp án » 11/07/2024 2,176

Câu 5:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 + y3 + 5x + 5y;

b) 16x2 + 8xy + y2 – 4x2.

Xem đáp án » 11/07/2024 2,009

Câu 6:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 10 cm, cạnh bên SD = 15 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh SO MN. Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.

b) Tính thể tích của hình chóp.

c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,674
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua