Câu hỏi:
11/07/2024 2,092Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Từ M kẻ đường thẳng song song với BP, đường thẳng này cắt NP tại K.
a) Tứ giác AMNP là hình gì?
b) Chứng minh tứ giác BMKP là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác ANCK là hình thoi.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCK là hình vuông.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).
Vì P, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra PN // AB.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC.
Xét tứ giác AMNP có:
NP // AM (do PN // AB),
NM // AP (do MN // AC).
Do đó, tứ giác AMNP là hình bình hành.
Mà \(\widehat {PAM} = 90^\circ \) (do \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)) nên tứ giác AMNP là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BMKP có:
BM // KP (do PN // AB),
BP // KM (gt).
Nên tứ giác BMKP là hình bình hành.
c) Ta có \(PN = \frac{1}{2}AB = AM = MB\) (do PN là đường trung bình của tam giác ABC và M là trung điểm của AB).
Vì tứ giác BMKP là hình bình hành nên KP = MB.
Do đó, KP = PN. Suy ra P là trung điểm của KN.
Vì PN song song với AB (cmt) mà AB vuông góc với AC nên KN vuông góc với AC tại P.
Tứ giác ANCK có hai đường chéo AC và KN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường nên ANCK là hình bình hành.
Mà KN vuông góc với AC tại P.
Do đó, tứ giác ANCK là hình thoi.
d) Để hình thoi ANCK là hình vuông thì AC = KN.
Mà KN = 2PN = \(2 \cdot \frac{1}{2}AB\) = AB.
Do đó, AC = AB. Mà tam giác ABC vuông tại A. Do đó, tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy khi tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác ANCK là hình vuông.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y = (3m + 1)x – 2m.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng song song với đường thẳng y = –2x + 5.
c) Với m tìm được ở câu b), hãy vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) EF = AH.
b) AM ⊥ EF.
Câu 3:
Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a) AE . AB = AF . AC.
b) ∆ADE ᔕ ∆AHC và ∆ANF ᔕ ∆AMB.
Câu 4:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 + y3 + 5x + 5y;
b) 16x2 + 8xy + y2 – 4x2.
Câu 5:
Cho phân thức đại số \(P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}}\).
a) Tìm điều kiện xác định của phân thức.
b) Rút gọn phân thức đã cho.
c) Sử dụng kết quả câu b), tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của phân thức P đã cho là số nguyên.
Câu 6:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 10 cm, cạnh bên SD = 15 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh SO ⊥ MN. Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.
b) Tính thể tích của hình chóp.
c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
về câu hỏi!