Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}$ ;

b) ${\left(3^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{8}}$ ;

c) ${\left[{\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2}}\right]}^{\sqrt{8}}$ ;

d) $a^{2\sqrt{5}+1}:a^{2\sqrt{5}-2}$ ;

e) $3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.9^{1-\sqrt{2}}$ ;

g) ${\left(a^{-\sqrt{3}}{b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Cường độ ánh sáng tại độ sâu h (m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức $I_h=I_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{h}{4}}$ , trong đó I­₀ là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó.

a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m?

Biết rằng 4^x = 25^y = 10. Tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Biết rằng 5^2x = 3. Tính giá trị của biểu thức $\frac{5^{3x}+5^{-3x}}{5^x+5^{-x}}$

Cho a > 0, b > 0. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}\right)$ ;

b) $\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)$ .

Biết rằng 3^α + 3^−α = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}$  ;

b) 3^2α + 3^−2α.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}$  ;

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}$ ;

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}$;

d) ${\left(\sqrt[4]{5}\right)}^5-\sqrt{\sqrt[4]{25}}$ .

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $8^{-\frac{2}{3}}$ ;

b) ${32}^{-\frac{2}{5}}$ ;

c) ${81}^{1,25}$ ;

d) ${1000}^{-\frac{5}{3}}$ ;

e) ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{1}{4}}$ ;

g) ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}$ .