Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có đáp án

44 người thi tuần này 4.6 561 lượt thi 12 câu hỏi

Câu 1

Giải các phương trình sau:

a) $3^{2 x + 1} = \frac{1}{27}$ ;

b) 5^2x = 10;

c) 3^x= 18;

d) $0, 2^{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{125}}$ ;

e) 5^3x= 25^{x – 2};

g) ${(\frac{1}{8})}^{x + 1} = {(\frac{1}{32})}^{x - 1}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) 3^{2x + 1} = 3^{– 3}

⇔ 2x + 1= –3 (do 3 > 1)

⇔ x = – 2.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) 5^2x=10

⇔ 2x = log₅10

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \log_{5} 10$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{1}{2} \log_{5} 10$

c) 3^x = 18 ⇔ x = log₃18

Vậy phương trình có nghiệm là x = log₃18.

d) $0, 2^{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{125}}$

$\Leftrightarrow 5^{1 - x} = 5^{- \frac{3}{2}}$

$\Leftrightarrow 1 - x = \frac{- 3}{2}$ (do 5 > 1)

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{5}{2}$

e) 5^3x = 25^x–2

⇔ 5^3x = 5^2x–4

⇔ 3x = 2x – 4 (do 5 > 1)

⇔ x = – 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = – 4.

g) ${(\frac{1}{8})}^{x + 1} = {(\frac{1}{32})}^{x - 1}$

$\Leftrightarrow {(2^{- 3})}^{x + 1} = {(2^{- 5})}^{x - 1}$

$\Leftrightarrow 2^{- 3 (x + 1)} = 2^{- 5 x + 5}$

⇔ –3x – 3 = –5x + 5 (do 2 > 1)

⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

Câu 2

Giải các phương trình sau:

a) $\log_{3} (2 x - 1) = 3$ ;

b) $\log_{49} x = 0, 25$ ;

c) $\log_{2} (3 x + 1) = \log_{2} (2 x - 4)$ ;

d) $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x - 3) = \log_{5} (2 x + 10)$ ;

e) log x + log (x – 3) = 1;

g) $\log_{2} (\log_{81} x) = - 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện: 2x – 1 > 0 $\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$

Ta có: $\log_{3} (2 x - 1) = 3$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = 3^{3} = 27$

$\Leftrightarrow x = 14$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {14}.

b) Điều kiện: $x > 0$

Ta có: $\log_{49} x = 0, 25$

$\Leftrightarrow \log_{7^{2}} x = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \log_{7} x = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \log_{7} x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{7}$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{\sqrt{7}\}$

c) Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ \log_{81} x > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x > 81^{0} = 1 \end{cases} \Rightarrow x > 1$

Ta có: $\log_{2} (3 x + 1) = \log_{2} (2 x - 4)$

⇔ 3x + 1 = 2x – 4 (do 2 >1)

⇔ x = – 5 (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $\{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 2 x + 10 > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > 3 \\ x > - 5 \end{cases} \Rightarrow x > 3$

Ta có: $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x - 3) = \log_{5} (2 x + 10)$

$\Leftrightarrow \log_{5} [(x - 1) (x - 3)] = \log_{5} (2 x + 10)$

$\Leftrightarrow \log_{5} (x^{2} - 4 x + 3) = \log_{5} (2 x + 10)$

x²– 4x + 3 = 2x + 10(do 2 >1)

x² – 6x – 7 = 0.

x = 7 (nhận) hoặc x = –1 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {7}.

e) Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x > 3$

Ta có: log x + log (x – 3) = 1

⇔ log [x(x – 3)] = 1

⇔ log (x² – 3x)=1

⇔ x² – 3x – 10 = 0 (do 10 >1)

⇔ x = 5 (nhận) hoặc x = –2 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5}.

g) Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ \log_{81} x > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x > 81^{0} = 1 \end{cases} \Rightarrow x > 1$

Ta có: $\log_{2} (\log_{81} x) = - 2$

$\Leftrightarrow \log_{81} x = 2^{- 2} \Leftrightarrow x = 81^{2^{- 2}} = 3$ (nhận)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Câu 3

Giải các bất phương trình sau:

a) $4^{x} < 2 \sqrt{2}$ ;

b) ${(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{x - 1} \geq \frac{1}{9}$ ;

c) $5 . {(\frac{1}{2})}^{x} < 40$ ;

d) 4^2x < 8^{x –1};

e) ${(\frac{1}{5})}^{2 - x} \leq {(\frac{1}{25})}^{x}$ ;

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}_.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $4^{x} < 2 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2^{2 x} < 2 \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 2 x < \log_{2} 2 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2 x < \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x < \frac{3}{4}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; \frac{3}{4})$

b) Ta có: ${(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{x - 1} \geq \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow 3^{- \frac{1}{2} (x - 1)} \geq 3^{- 2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} (x - 1) \geq - 2$ (do 3 > 1)

$\Leftrightarrow x \leq 5$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; 5]$

c) $5 . {(\frac{1}{2})}^{x} < 40$

$\Leftrightarrow 2^{- x} < 8$

$\Leftrightarrow 2^{- x} < 2^{3}$

$\Leftrightarrow x > - 3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- 3; + \infty)$ .

d) 4^2x < 8^{x – 1}

⇔ 2^4x< 2^{3x – 3}

⇔ 4x < 3x – 3 (do 2 > 1)

⇔ x < – 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; - 3)$

e) ${(\frac{1}{5})}^{2 - x} \leq {(\frac{1}{25})}^{x}$

$\Leftrightarrow 5^{x - 2} \leq 5^{- 2 x}$

$\Leftrightarrow x - 2 \leq - 2 x$ (do 5 >1)

$\Leftrightarrow 3 x \leq 2$ $\Leftrightarrow x \leq \frac{2}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; \frac{2}{3}]$ .

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}

⇔ 0,5^{2(x - 2)}> 0,5^{x + 1}

⇔ 2(x –2) < x +1 (do 0 < 0,5 < 1)

⇔ x < 5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; 5)$

Câu 4

Giải các bất phương trình sau:

a) $\log_{3} (x + 4) < 2$ ;

b) $\log_{\frac{1}{2}} x \geq 4$ ;

c) $\log_{0, 25} (x - 1) \leq - 1$

d) $\log_{5} (x^{2} - 24 x) \geq 2$

e) $2 \log_{\frac{1}{4}} (x + 1) \geq \log_{\frac{1}{4}} (3 x + 7)$

g) $2 \log_{3} (x + 1) \leq 1 + \log_{3} (x + 7)$

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện: x > –4

Ta có: $\log_{3} (x + 4) < 2$ ⇔ x + 4 < 9 ⇔ x < 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (–4; 5).

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: $\log_{\frac{1}{2}} x \geq 4$ $\Leftrightarrow x \leq {(\frac{1}{2})}^{4} \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{16}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (0; \frac{1}{16}]$ ;

c) Điều kiện: x > 1

Ta có: $\log_{0, 25} (x - 1) \leq - 1$

$\Leftrightarrow x - 1 \geq {(0, 25)}^{- 1}$ (do 0 < 0, 5 < 1)

$\Leftrightarrow x - 1 \geq 4$

$\Leftrightarrow x \geq 5$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = [5; + \infty)$

d) Điều kiện: $x^{2} - 24 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 0 \\ x > 24 \end{array}$

Ta có: $\log_{5} (x^{2} - 24 x) \geq 2$

$\Leftrightarrow x^{2} - 24 x \geq 25$

$\Leftrightarrow x^{2} - 24 x - 25 \geq 0$ (Do 5 > 1)

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - 1 \\ x \geq 25 \end{array}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (- \infty; - 1] \cup [25; + \infty)$

e) Điều kiện: $\{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3 x + 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > \frac{- 7}{3} \end{cases} \Rightarrow x > - 1$

Ta có: $2 \log_{\frac{1}{4}} (x + 1) \geq \log_{\frac{1}{4}} (3 x + 7)$

$\Leftrightarrow \log_{\frac{1}{4}} {(x + 1)}^{2} \geq \log_{\frac{1}{4}} (3 x + 7)$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 \leq 3 x + 7$

(do cơ số $0 < \frac{1}{2} < 1$ )

$\Leftrightarrow x^{2} - x - 6 \leq 0$ $\Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 3$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (−1; 3].

g) Điều kiện: $\{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > - 7 \end{cases} \Rightarrow x > - 1$

Ta có: $2 \log_{3} (x + 1) \leq 1 + \log_{3} (x + 7)$

$\Leftrightarrow \log_{3} {(x + 1)}^{2} \leq \log_{3} 3 + \log_{3} (x + 7)$

$\Leftrightarrow \log_{3} {(x + 1)}^{2} \leq \log_{3} (3 (x + 7))$

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} \leq 3 x + 21$ (do cơ số $2 > 1$ )

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} \leq 3 x + 21$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 \leq 3 x + 21$

$\Leftrightarrow x^{2} - x - 20 \leq 0$

$\Leftrightarrow - 4 \leq x \leq 5$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (–1; 5].

Câu 5

Giải các phương trình sau:

a) 4^x – 5.2^x+ 4 = 0;

b) ${(\frac{1}{9})}^{x} - 2. {(\frac{1}{3})}^{x - 1} - 27 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

a) 4^x – 5.2^x+ 4 = 0;

Đặt t = 2^x(t > 0).

Khi đó: t²– 5t + 4 = 0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 4 \\ t = 1 \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 4 \\ 2^{x} = 1 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \log_{2} 4 = 2 \\ x = \log_{2} 1 = 0 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 2.

b) ${(\frac{1}{9})}^{x} - 2. {(\frac{1}{3})}^{x - 1} - 27 = 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{3})}^{2 x} - 2 {(\frac{1}{3})}^{x} {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 27 = 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{3})}^{2 x} - 6 {(\frac{1}{3})}^{x} - 27 = 0$

Đặt $t = {(\frac{1}{3})}^{x}$ (t > 0).

Khi đó, ta có: $t^{2} - 6 t + 27 = 0$ ⇔ t = 9 (nhận) hoặc t = –3 (loại)

Do đó ${(\frac{1}{3})}^{x} = 9$ ⇔ 3^–x = 3² ⇔ x = –2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = –2.

Câu 6