Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = – log x, trong đó x là nồng độ ion H⁺ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7. Dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp bao nhiêu lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A?

a) Điều kiện: x > –4

Ta có: ${\log }_3(x+4)<2$ ⇔ x + 4 < 9 ⇔ x < 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (–4; 5).

b) Điều kiện: x > 0

Ta có:  ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4$$\iff x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^4\iff x\le \frac{1}{16}$   

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(0;\frac{1}{16}\right]$ ;

c) Điều kiện: x > 1

Ta có:  ${\log }_{0,25}(x-1)\le -1$

 $\iff x-1\ge {\left(0,25\right)}^{-1}$(do 0 < 0, 5 < 1)

$\iff x-1\ge 4$

$\iff x\ge 5$                                                     

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left[5;+\infty \right)$

d) Điều kiện: $x^2-24x>0\iff \left[\begin{array}{l}x<0\\ x>24\end{array}\right.$

Ta có: ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$

$\iff x^2-24x\ge 25$

$\iff x^2-24x-25\ge 0$ (Do 5 > 1)

$\iff \left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 25\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[25;+\infty \right)$

e) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 3x+7>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>\frac{-7}{3}\end{array}\right.\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

 $\iff {\log }_{\frac{1}{4}}{(x+1)}^2\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

$\iff x^2+2x+1\le 3x+7$

 (do cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ )

   $\iff x^2-x-6\le 0$$\iff -2\le x\le 3$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (−1; 3].

g)  Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+7>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>-7\end{array}\right.\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$

 $\iff {\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_{3}3+{\log }_3(x+7)$

$\iff {\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_3\left(3(x+7)\right)$

 $\iff {(x+1)}^2\le 3x+21$ (do cơ số $2>1$ )

 $\iff {(x+1)}^2\le 3x+21$

 $\iff x^2+2x+1\le 3x+21$

$\iff x^2-x-20\le 0$

$\iff -4\le x\le 5$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (–1; 5].