Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Giới hạn của hàm số có đáp án

Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số  $y=\frac{1}{x^2}$ (x > 0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Xét hàm số  $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2-2}{x-1}$.

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

 Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng gần đến 1?

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x^2-x\right)$;

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+1}$.

Cho hai hàm số y = f(x) = 2x và y = g(x) =  $\frac{x}{x+1}$.

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(x_n) + g(x_n)].

b) Từ đó, tìm giới hạn  $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]}$, và so sánh với  $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+5x-2\right)$;

b)  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$.

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}6khix\in \left(0;1\right]\\ 7khix\in \left(1;2,5\right]\\ 10khix\in \left(2,5;5\right]\end{array}\right.$.

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì sao cho x_n ∈ (1; 2,5) và lim x_n = 1. Tìm lim f(x_n).

b) Giả sử  $\left(x_n^{\text{'}}\right)$ là dãy số bất kì sao cho  $\left(x_n^{\text{'}}\right)\in \left(0;1\right)$và  $\lim f\left(x_n^{\text{'}}\right)$. Tìm  $\lim f\left(x_n^{\text{'}}\right)$.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1-2xkhix\le -1\\ x^2+2khix>-1\end{array}\right.$.

Tìm các giới hạn  $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và  $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới – ∞)?

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-3x^2}{x^2+2x}$;

b)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}$.

Một cái hồ đang chứa 200m³ nước mặn với nồng độ muối 10kg/m³. Người ta ngọt hóa nước hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m³/phút.

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.

b) Tìm giới hạn  $\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)$ và giải thích ý nghĩa.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-3}$;

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x-1\right)$.

Xét tình huống ở hoạt động khởi động đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật OHMK theo x. Diện tích này thay đổi như thế nào khi x → 0⁺ và khi x → +∞.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)$;

b)  $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}$;

Tìm các giới hạn sau:

c)  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$.

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}khix<1\\ xkhix\ge 1\end{array}\right.$.

Tìm các giới hạn sau:  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}$;

b)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}$;

c)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}$;

b)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)$;

Tìm các giới hạn sau:

c)  $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}$.

Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muốn là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là  $C\left(t\right)=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞.

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f  > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức  $\frac{1}{d}+\frac{1}{d\text{'}}=\frac{1}{f}$ hay  $d\text{'}=\frac{df}{d-f}$.

Xét hàm số  $g\left(d\right)=\frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a)  $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)$;

Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

b)  $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)$.