Giả sử hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại x₀ là f '(x₀) và g'(x₀). Làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀?

a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = x₀.

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số y = x²; y = x³ đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số y = xⁿ với n Î ℕ*.

Tính đạo hàm của hàm số y = x¹⁰ tại x = −1 và  $x=\sqrt[3]{2}$.

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số  $y=\sqrt{x}$ tại điểm x = x₀ với x₀ > 0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4.

Tìm đạo hàm của các hàm số:

a)  $y=\sqrt[4]{x}$ tại x = 1;                                               

Tìm đạo hàm của các hàm số:                                

b)  $y=\frac{1}{x}$ tại  $x=-\frac{1}{4}$.

Cho biết  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.

Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại  $x=\frac{3\pi }{4}$.

Cho biết  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ và  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x;                                                                

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

b) y = lnx.

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = 9^x tại x = 1;                                                  

Tính đạo hàm của các hàm số: 

b) y = lnx tại  $x=\frac{1}{3}$.

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x₀. Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x).

Ta có  $\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Nên  $h^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}=\mathrm{...}+\mathrm{...}$

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm h'(x₀).

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = xlog₂x;      b) y = x³e^x.

Cho hàm số u = sinx và hàm số y = u².

a) Tính y theo x.

b) Tính y'_x (đạo hàm của y theo biến x), y'_u (đạo hàm của y theo biến u) và u'_x (đạo hàm của u theo biến x) rồi so sánh y'_x với y'_u×u'_x.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x³ + 3)²;                    

b) y = cos3x;                             

Tính đạo hàm của các hàm số sau:                            

c) y = log₂(x² + 2).                 

Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 2t³ + 4t + 1, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây.

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t.

b) Đạo hàm v'(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu a(t). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = x² – x;  

b) y = cosx.

Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là s(t) = 4,9t² , trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. Tính gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=2x^3-\frac{x^2}{2}+4x-\frac{1}{3}$;                                       

Tính đạo hàm của các hàm số sau:      

b)  $y=\frac{-2x+3}{x-4}$;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:  

c)  $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;   

Tính đạo hàm của các hàm số sau:   

d) $y=\sqrt{5x}$.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin3x;                                                          

b) y = cos³2x;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y = tan²x;                                                           

d) y = cot(4 – x²).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² – x)×2^x;                   

b) y = x²log₃x;                                    

c) y = e^{3x + 1}.

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 5x² + 3;                                      

b) y = xe^x.

Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số w(t) = 0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound (nguồn: https://www.cdc.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi.

Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là  $C\left(x\right)=\sqrt{5x^2+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt Trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính:

a) Quãng đường vật đã rơi;

b) Gia tốc của vật.