Cho biết limx→0sinxx=1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.

Có y'x0=limx→x0fx−fx0x−x0 =limx→x0sinx−sinx0x−x0 =limx→x02cosx+x02sinx−x02x−x0 =limx→x02cosx+x02⋅limx→x012⋅sinx−x02x−x02 =2cos2x02⋅12=cosx0 (do limx→x0sinx−x02x−x02=1). Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Câu hỏi:

13/07/2024 4,834

Cho biết $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Có $y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin x - \sin x_{0}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{2 c o s (\frac{x + x_{0}}{2}) \sin (\frac{x - x_{0}}{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} [2 c o s (\frac{x + x_{0}}{2})] \cdot \lim_{x \to x_{0}} [\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (\frac{x - x_{0}}{2})}{\frac{x - x_{0}}{2}}]$

$= [2 c o s (\frac{2 x_{0}}{2})] \cdot \frac{1}{2} = \cos x_{0}$ (do $\lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin (\frac{x - x_{0}}{2})}{\frac{x - x_{0}}{2}} = 1$ ).

Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là $C (x) = \sqrt{5 x^{2} + 60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $C^{'} (x) = {(\sqrt{5 x^{2} + 60})}^{'}$ $= \frac{{(5 x^{2} + 60)}^{'}}{2 \sqrt{5 x^{2} + 60}} = \frac{10 x}{2 \sqrt{5 x^{2} + 60}} = \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + 60}}$ .

Có x'(t) = (20t + 40)' = 20; x(4) = 120.

Khi đó, tốc độ tăng chi phí của công ty sau t tháng là: C'(x(t)) = C'(x)×x'(t).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó là:

C'(x(4)) = C'(120)×x'(4) $= \frac{5 \cdot 120}{\sqrt{5 \cdot 120^{2} + 60}} \cdot 20 \approx 44, 7$ (nghìn đô-la/tháng).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó khoảng 44,7 nghìn đô/tháng.

Câu 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) $y = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ ;

Xem đáp án

Lời giải

c) $y = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = \frac{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{'} (x - 1) - (x^{2} - 2 x + 3) {(x - 1)}^{'}}{{(x - 1)}^{2}}$

$= \frac{(2 x - 2) (x - 1) - (x^{2} - 2 x + 3)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 3}{{(x - 1)}^{2}}$

$= \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Câu 3