Câu 1:

Một quả bóng rơi từ một vị trí có động cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên với độ cao bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó.

Gọi u­₁ = 120 là độ cao của lần rơi đầu tiên và u₂; u₃; u₄; ...; u_n; ... là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy (u_n) và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.

Câu 2:

a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 2; 4; 8; 16; 32; 64.

b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

i) 3; 6; 12; 24; 48.

ii)  $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16}$.

iii) 2; – 6; 18; – 54; 162; – 486.

Câu 3:

Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số 2^m, 2ⁿ, 2^p theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Câu 4:

Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Câu 5:

Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo https:..vi.wikipedia.org/wiki/Đô­­_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).  

Câu 6:

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q. Tính u₂, u₃, u₄ và u₁₀ theo u₁ và q.

Câu 7:

Viết công thức số hạng tổng quát u_n theo số hạng đầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân sau:

a) 5; 10; 20; 40; 80; ...

b)  $1;\frac{1}{10};\frac{1}{100};\frac{1}{1000};\frac{1}{10000};\mathrm{...}$

Câu 8:

Câu 9:

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

a) So sánh q.S_n và (u₂ + u₃ + ... + u_n) + q.u_n;

b) So sánh u₁ + q.S_n và S_n + u₁.qⁿ.

Câu 10:

Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) trong các trường hợp sau:

a) u₁ = 10⁵; q = 0,1; n = 5;

Câu 11:

Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) trong các trường hợp sau:

b) u₁ = 10; u₂ = – 20; n = 5.

Câu 12:

Trong bài toán ở hoạt động khởi động đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.

Câu 13:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) u_n = 3.(– 2)ⁿ;

b) u_n = (– 1)ⁿ.7ⁿ;

Câu 14:

a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

Câu 15:

b) Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Câu 16:

Ba số  $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Câu 17:

Tính các tổng sau:

a)   $S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}$;

Câu 18:

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Câu 19:

Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%.

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

Câu 20:

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Câu 21:

Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m.

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.

Câu 22:

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.