Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Giới hạn của dãy số có đáp án

Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với n như thế nào thì |u_n| bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm u_n đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{1}{n^2}$;

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim {\left(-\frac{3}{4}\right)}^n$.

Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{2n+1}{n}$.

a) Cho dãy số (v_n) với v_n = u_n – 2. Tìm giới hạn lim v_n.

b) Biểu diễn các điểm u₁, u₂, u₃, u₄ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm u_n khi n trở nên rất lớn?

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \left(2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)$;

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim \left(\frac{1-4n}{n}\right)$.

Ở trên ta đã biết  $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{3n^2+1}{n^2}=1$.

a) Tìm các giới hạn lim 3 và  $\lim \frac{1}{n^2}$.

b) Từ đó, nêu nhận xét về  $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)$ và lim 3 +  $\lim \frac{1}{n^2}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{2n^2+3n}{n^2+1}$;

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim \frac{\sqrt{4n^2+3}}{n}$.

Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:  $1+\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\mathrm{...}$

Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

a) Với n như thế nào thì u_n vượt quá 10 000; 1 000 000?

b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì u_n vượt quá S?

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{-2n+1}{n}$;