Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện có đáp án

a) Ta có: $\left\{\begin{array}{c}SA\perp \left(ABCD\right)\\ SB\cap \left(ABCD\right)=B\end{array}\right.$

Suy raAB là hình chiếu của SB trên (ABCD).

Do đó (SB, (ABCD)) = (SB, AB).

Trong tam giác SAB vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60°.$

Vậy $(SB,(ABCD\left)\right)=\widehat{SBA}=60°.$

b) Tương tự câu a) ta xác định được (SC, (ABCD)) = (SC, AC).

Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{SCA}\approx 50,8°.$

Vậy $(SC,(ABCD\left)\right)=\widehat{SCA}\approx 50,8°.$

c) Tương tự câu a) ta xác định được (SD, (ABCD)) = (SD,AD).

Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có: $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60°.$

Vậy $(SD,(ABCD\left)\right)=\widehat{SDA}=60°.$

d) Ta có: $\left\{\begin{array}{c}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.$

Þ BD ^ (SAC) hay BO ^ (SAC). (1)

Mà SB Ç (SAC) = S. (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO là hình chiếu của SB trên (SAC).

Do đó: (SB, (SAC)) = (SB, SO).

Trong tam giác SBO vuông tại O, ta có: $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2},SB=2a.$

$\Rightarrow \sin \widehat{BSO}=\frac{BO}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \widehat{BSO}\approx 20,7°.$

Vậy $(SB,(SAC\left)\right)=\widehat{BSO}\approx 20,7°.$

a) Vì AI là hình chiếu của SA trên (ABC).

Do đó (SA, (ABC)) = (SA, AI).

Vì tam giác SAI vuông cân tại I $\Rightarrow \widehat{SAI}=45°.$

Vậy $(SA,(ABC\left)\right)=(SA,AI)=\widehat{SAI}=45°$

b) Ta có tam giác ABC đều nên CI ^ AB, $CI=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}CI\perp AB\\ CI\perp SI(doSI\perp (ABC\left)\right)\end{array}\right.\Rightarrow CI\perp \left(SAB\right)\left(1\right).$

Mà SC Ç (SAB) = S. (2)

Từ (1) và (2) Þ SI là hình chiếu của SC trên (SAB).

Do đó (SC, (SAB)) = (SC, SI).

Trong tam giác SAB vuông tại S, $SI=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$

Trong tam giác SCI vuông tại I, ta có $\tan \widehat{CSI}=\frac{IC}{SI}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CSI}=60°.$

Vậy $\left(SC,\left(SAB\right)\right)=\widehat{CSI}=60°.$

Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có SG ^ (ABC), SM ^ BC, AM ^ BC.

Suy ra $\widehat{SMG}$  là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Ta tính được

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow GM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6},$

$SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{6},$

$SG=\sqrt{S{M}^2-G{M}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Þ GM = SG.

Ta có tam giác SMG vuông cân tại G, suy ra số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A] = $\widehat{SMG}=45°.$

Vẽ AH ^ BC (H Î BC), ta có SH ^ BC.

Suy ra $\widehat{SHA}$  là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Ta có AH = AC.sin60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$  = SA

Do đó $\widehat{SHA}$  = 45°.