Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA =  $a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa:

a) SB và (ABCD);

b) SC và (ABCD);

c) SD và (ABCD);

d) SB và (SAC).

a) Ta có: $\left\{\begin{array}{c}SA\perp \left(ABCD\right)\\ SB\cap \left(ABCD\right)=B\end{array}\right.$

Suy raAB là hình chiếu của SB trên (ABCD).

Do đó (SB, (ABCD)) = (SB, AB).

Trong tam giác SAB vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60°.$

Vậy $(SB,(ABCD\left)\right)=\widehat{SBA}=60°.$

b) Tương tự câu a) ta xác định được (SC, (ABCD)) = (SC, AC).

Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{SCA}\approx 50,8°.$

Vậy $(SC,(ABCD\left)\right)=\widehat{SCA}\approx 50,8°.$

c) Tương tự câu a) ta xác định được (SD, (ABCD)) = (SD,AD).

Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có: $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60°.$

Vậy $(SD,(ABCD\left)\right)=\widehat{SDA}=60°.$

d) Ta có: $\left\{\begin{array}{c}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.$

Þ BD ^ (SAC) hay BO ^ (SAC). (1)

Mà SB Ç (SAC) = S. (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO là hình chiếu của SB trên (SAC).

Do đó: (SB, (SAC)) = (SB, SO).

Trong tam giác SBO vuông tại O, ta có: $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2},SB=2a.$

$\Rightarrow \sin \widehat{BSO}=\frac{BO}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \widehat{BSO}\approx 20,7°.$

Vậy $(SB,(SAC\left)\right)=\widehat{BSO}\approx 20,7°.$