Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{15}}{6}$ . Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Vẽ AH ^ BC (H Î BC), ta có SH ^ BC.

Suy ra $\widehat{SHA}$  là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Ta có AH = AC.sin60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$  = SA

Do đó $\widehat{SHA}$  = 45°.

a) Vì AI là hình chiếu của SA trên (ABC).

Do đó (SA, (ABC)) = (SA, AI).

Vì tam giác SAI vuông cân tại I $\Rightarrow \widehat{SAI}=45°.$

Vậy $(SA,(ABC\left)\right)=(SA,AI)=\widehat{SAI}=45°$

b) Ta có tam giác ABC đều nên CI ^ AB, $CI=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}CI\perp AB\\ CI\perp SI(doSI\perp (ABC\left)\right)\end{array}\right.\Rightarrow CI\perp \left(SAB\right)\left(1\right).$

Mà SC Ç (SAB) = S. (2)

Từ (1) và (2) Þ SI là hình chiếu của SC trên (SAB).

Do đó (SC, (SAB)) = (SC, SI).

Trong tam giác SAB vuông tại S, $SI=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$

Trong tam giác SCI vuông tại I, ta có $\tan \widehat{CSI}=\frac{IC}{SI}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CSI}=60°.$

Vậy $\left(SC,\left(SAB\right)\right)=\widehat{CSI}=60°.$