$\sin (2 \hat{B O B'}) = 2 \sin \hat{B O B'} . \cos \hat{B O B'} = 2. \frac{54}{d} . \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}} = \frac{108}{d} \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}}$ .

Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là

\frac{108}{d} \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}}

Câu 2/25

Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\vec{O M}$ và $\vec{O N}$ sau đây:

$\vec{O M} . \vec{O N} = |\vec{O M}| . |\vec{O N}| . cos (\vec{O M}, \vec{O N}) = cos (\vec{O M}, \vec{O N}) = cos (α - β)$

$\vec{O M} . \vec{O N} = x_{M} . x_{N} + y_{M} . y_{N}$ ,

Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: cos(α – β) = x_M.x_N + y_M.y_N = cosα.cosβ + sinα.sinβ.

Ta có: cos(α + β) = cos(α – (– β)) = cosα.cos(–β) + sinα.sin(–β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ.

Câu 3/25

Tính $\sin \frac{π}{12}$ và $\tan \frac{π}{12}$ .

Xem đáp án

Lời giải

$\sin \frac{π}{12} = \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{3} . cos \frac{π}{4} - cos \frac{π}{3} . sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Ở ví dụ 1 ta có: $cos \frac{π}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Suy ra

\tan \frac{π}{12} = \frac{\sin \frac{π}{12}}{cos \frac{π}{12}} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{3}

Câu 4/25

Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

cos2α = cos(α + α) = cosα.cosα – sinα.sinα = cos²α – sin²α = cos²α + sin²α – 2sin²α = 1 – 2sin²α = 2cos²α – 1.

sin2α = sin(α + α) = sinα.cosα + cosα.sinα = 2.sinα.cosα .

$\tan 2 α = \tan (α + α) = \frac{\tan α + \tan α}{1 - \tan α . \tan α} = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$ .

Câu 5/25

Tính $cos \frac{π}{8}$ và $\tan \frac{π}{8}$ .

Xem đáp án

Lời giải

+) Ta có: $cos \frac{π}{4} = cos (2. \frac{π}{8}) = 2 {cos}^{2} \frac{π}{8} - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow {cos}^{2} \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2} + 2}{4}$

$\Rightarrow cos \frac{π}{8} = \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 2}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ (vì $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{2}$ ).

+) $\tan \frac{π}{4} = \tan (2. \frac{π}{8}) = \frac{2 \tan \frac{π}{8}}{1 - \tan^{2} \frac{π}{8}} = 1$

$\Leftrightarrow 1 - \tan^{2} \frac{π}{8} = 2 \tan \frac{π}{8}$

$\Leftrightarrow \tan^{2} \frac{π}{8} + 2 \tan \frac{π}{8} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan \frac{π}{8} = - 1 + \sqrt{2}$ (vì $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{2}$ ).

Câu 6/25

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a) cos(α – β) và cos(α + β) ;

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: cos(α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ; cos(α + β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ

Khi đó:

cos(α – β) + cos(α + β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ + cosα.cosβ – sinα.sinβ

= 2cosα.cosβ.

cos(α – β) – cos(α + β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ – cosα.cosβ + sinα.sinβ

= 2sinα.sinβ .

Câu 7/25

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

b) sin(α – β) và sin(α + β) .

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có: sin(α – β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ; sin(α + β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ

Khi đó:

sin(α – β) + sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ + sinα.cosβ – cosα.sinβ = 2sinα.cosβ.

sin(α – β) – sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ – sinα.cosβ + cosα.sinβ = 2cosα.sinβ.

Câu 8/25

Tính giá trị của các biểu thức $\sin \frac{π}{24} cos \frac{5 π}{24}$ và $\sin \frac{7 π}{8} sin \frac{5 π}{8}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$\sin \frac{π}{24} cos \frac{5 π}{24} = \frac{1}{2} [\sin (\frac{π}{24} - \frac{5 π}{24}) + \sin (\frac{π}{24} + \frac{5 π}{24})] = \frac{1}{2} [\sin (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4})]$

$= \frac{1}{2} [- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}] = \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$

$\sin \frac{7 π}{8} sin \frac{5 π}{8} = \frac{1}{2} [cos (\frac{7 π}{8} - \frac{5 π}{8}) - cos (\frac{7 π}{8} + \frac{5 π}{8})] = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{4} - cos \frac{3 π}{2})$