Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3: Các công thức lượng giác có đáp án

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ sau đây:

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=\left|\overrightarrow{OM}\right|.\left|\overrightarrow{ON}\right|.\text{cos}\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right)=\text{cos}\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right)=\text{cos}\left(\alpha -\beta \right)$

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=x_M.x_N+y_M.y_N$,

Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.

Tính $\sin \frac{\pi }{12}$ và $\tan \frac{\pi }{12}$.

Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Tính $\text{cos}\frac{\pi }{8}$ và $\tan \frac{\pi }{8}$.

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a) cos(α – β) và cos(α + β) ;

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

b) sin(α – β) và sin(α + β) .

Tính giá trị của các biểu thức $\sin \frac{\pi }{24}\text{cos}\frac{5\pi }{24}$ và $\sin \frac{7\pi }{8}\text{sin}\frac{5\pi }{8}$.

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác $a=\frac{\alpha +\beta }{2}$ và $b=\frac{\alpha -\beta }{2}$ ta được các đẳng thức nào?

Tính  $\text{cos}\frac{7\pi }{12}+\text{cos}\frac{\pi }{12}$.

Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính sin α và cos α, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc :

a) $\frac{5\pi }{12}$;

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc :

b) – 555°.

Tính  $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right),\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$ biết  $\sin \alpha =-\frac{5}{13}$ và  $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$;

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

b)  $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{3}{4}$ và  $\pi <\alpha <2\pi$.

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)-\text{cos}\alpha$;

Rút gọn các biểu thức sau:

b) ${\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)}^2-\sin 2\alpha$.

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) $\text{cos}2\alpha =\frac{2}{5}$ và $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$;

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

b)  $\sin 2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$.

Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có sinA = sinB.cosC + sinC.cosB.

Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn $\widehat{CAD}=30°$. Tính $\tan \widehat{BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.

Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông khi $\alpha =\frac{\pi }{2}$ và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8cm, viết công thức tính tọa độ x_M của điểm M trên trục Ox theo α.

Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc (OA, OM) là α.

a) Tính sinα và cosα.

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.