Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3: Các công thức lượng giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt chiều rộng cổng AH = d.

⇒ OA = OB = $\frac{1}{2}$ d.

Xét tam giác OBB’ vuông tại B’, có:

$\sin \hat{B O B'} = \frac{B B'}{O B} = \frac{27}{\frac{d}{2}} = \frac{54}{d}$ .

Vì $\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{B C}$ nên sđ $\overset{⏜}{A C}$ = 2.sđ $\overset{⏜}{A B}$ $\Rightarrow \hat{A O C} = 2 \hat{B O B'}$

Xét tam giác OCC’ vuông tại C’, có:

$\sin \hat{C O C'} = \frac{C C'}{O C} \Leftrightarrow C C' = O C . \sin \hat{C O C'} = O C . \sin (2 \hat{B O B'})$

Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:

$\sin (2 \hat{B O B'}) = 2 \sin \hat{B O B'} . \cos \hat{B O B'} = 2. \frac{54}{d} . \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}} = \frac{108}{d} \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}}$ .

Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là

\frac{108}{d} \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}}

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

b) $\sin \frac{α}{2} = \frac{3}{4}$ và $π < α < 2 π$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có: $cos \frac{α}{2} = - \sqrt{1 - {(\frac{3}{4})}^{2}} = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ (vì $π < α < 2 π \Leftrightarrow \frac{π}{2} < \frac{α}{2} < π$ ).

Khi đó:

$\sin α = 2. \sin \frac{α}{2} . cos \frac{α}{2} = 2. \frac{3}{4} . (- \frac{\sqrt{7}}{4}) = - \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ;

$cos α = 2. {cos}^{2} \frac{α}{2} - 1 = 2. {(- \frac{\sqrt{7}}{4})}^{2} - 1 = - \frac{1}{8}$ ;

$\sin 2 α = 2. \sin α . cos α = 2. (- \frac{3 \sqrt{7}}{8}) . (- \frac{1}{8}) = \frac{3 \sqrt{7}}{32}$ ;

$cos 2 α = 2. {cos}^{2} α - 1 = 2. {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 = - \frac{31}{32}$ ;

$\tan 2 α = \frac{\sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{\frac{3 \sqrt{7}}{8}}{- \frac{31}{32}} = - \frac{12 \sqrt{7}}{31}$ ;

$\cot 2 α = \frac{1}{\tan 2 α} = - \frac{31}{12 \sqrt{7}}$ .

Câu 2

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) $cos 2 α = \frac{2}{5}$ và $- \frac{π}{2} < α < 0$ ;

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = \frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow {cos}^{2} α = \frac{7}{10}$

$\Leftrightarrow cos α = \frac{\sqrt{70}}{10}$ (vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ ).

Mặt khác $cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α = \frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} α = \frac{3}{10}$

$\Leftrightarrow \sin α = - \frac{\sqrt{30}}{100}$ (vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ ).

Khi đó:

$\tan α = \frac{\sin α}{cos α} = \frac{- \frac{\sqrt{30}}{100}}{\frac{\sqrt{70}}{100}} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ .

$\cot α = \frac{1}{\tan α} = - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

Câu 3