Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 2t³ + 4t + 1, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây.

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t.

b) Đạo hàm v'(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu a(t). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.

Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là  $C\left(x\right)=\sqrt{5x^2+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số w(t) = 0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound (nguồn: https://www.cdc.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi.

Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt Trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính:

a) Quãng đường vật đã rơi;

b) Gia tốc của vật.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² – x)×2^x;                   

b) y = x²log₃x;                                    

c) y = e^{3x + 1}.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:  

c)  $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;   

Tính đạo hàm của các hàm số sau:   

d) $y=\sqrt{5x}$.

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 5x² + 3;                                      

b) y = xe^x.