Một chất điểm có phương trình chuyển động $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right),$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimet. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right).$

Ta có: $s^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2\right)}^{\text{'}}=t^2-6t+8;$ 

           s’’(t) = (t² – 6t + 8)’ = 2t – 6.

Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là s’’(t) = (t² – 6t + 8)’ = 2t – 6.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s) là:

s’’(5) = 2.5 – 6 = 4 (m/s²).

Xét hàm số f(x) = x³ + 4x² + 5. Ta có:

f’(x) = (x³ + 4x² + 5)’ = 3x² + 8x;

f’’(x) = (3x² + 8x)’ = 6x + 8.

Khi đó, f’(x) – f’’(x) = 3x² + 8x – 6x – 8 = 3x² + 2x – 8.

Để f’(x) – f’’(x) ≥ 0 thì 3x² + 2x – 8 ≥ 0

$\iff \left(3x-4\right)\left(x+2\right)\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{4}{3}\\ x\le -2\end{array}\right..$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[\frac{4}{3};+\infty \right).$