Cho phân thức \(P = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ay - ax} \right)}}\) (a ≠ 0, y ≠ x, y ≠ –x). Chứng minh rằng P có giá trị không phụ thuộc vào x, y.

Điều kiện xác định của biểu thức P là x ≠ 0 và x ≠ – 2.

\(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {\frac{{x + 2 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( { - {x^2} + x + 2} \right)}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{ - {x^3} + {x^2} + 2x - 2{x^2} + 2x + 4}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{ - {x^3} - {x^2} + 4x + 4}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{ - {x^3} - {x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x}\)

\( = \frac{{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x}}{x}\)

\( = - {x^2} - 2x - 2\).

Đáp án đúng là: D

Biểu thức không phải là phân thức đại số là \(\sqrt x \).