Cho a, b là các số nguyên dương và q = \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}\) là số nguyên. Chứng minh rằng q là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử q không phải là số chính phương

Xét tập S(q) = \(\left\{ {\left. {\left( {a;b} \right) \subset {{\left( {{\mathbb{N}^*}} \right)}^2}} \right|q = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}} \right\}\). Theo giả thiết S(q) ≠ ∅ nên theo nguyên lý cực hạn tồn tại cặp số (A; B) thuộc S(q) sao cho A + B nhỏ nhất.

Giả sử A ≥ B.

Xét phương trình q = \(\frac{{{x^2} + {B^2}}}{{Bx + 1}} \Leftrightarrow {x^2} - Bqx + {B^2} - q = 0\)

Rõ ràng A là một nghiệm của phương trình. Giả sử nghiệm còn lại là a.

Theo định lý Vi–ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A + a = Bq\\Aa = {B^2} - q\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = Bq - A\left( 3 \right)\\a = \frac{{{B^2} - q}}{A}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Đến đây ta có thể đi đến kết luận A ≤ a.

Theo phương trình trên thì A² ≤ Aa = B² + 6 ⇔ (A – B)(A + B) ≤ 6.

Từ đó suy ra (A – B)(A + B) ∈ {0;1;2;3;4;5;6} với A ≥ B.

Từ đây kiểm tra được chỉ có cặp A = B = 1 thỏa mãn p là số nguyên dương

Khi đó: p = 8 là số lập phương

Như vậy với mọi số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán thì p = 8 (A = B = 1 chỉ là các số nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này)

Vậy giả sử ban đầu là sai.

Vậy p là số chính phương.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?

Lời giải

Tính được: 270° = \(\frac{{270}}{{180}}\pi = \frac{3}{2}\pi = \frac{3}{4}.2\pi \)

Vậy đu quay được góc 270° khi nó quay được \(\frac{3}{4}\) vòng

Ta có: đu quay quay được 1 vòng trong \(\frac{1}{3}\) phút

Vậy đu quay đu được \(\frac{3}{4}\) vòng trong: \(\frac{3}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{4}\) phút.

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác (ảnh 1)

Xét ADFC có: \(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = 90^\circ \)(Vì AD ⊥ BC và CF ⊥ AK)

Suy ra: ADFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.

⇒ \(\widehat {DFA} = \widehat {DCA}\)(cùng chắn cung AD) hay \(\widehat {DFA} = \widehat {BCA}\)

Mà \(\widehat {BKA} = \widehat {BCA}\)(góc nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat {DFA} = \widehat {BKA}\)

Mà 2 góc \(\widehat {DFA};\widehat {BKA}\)ở vị trí đồng bị nên DF // BK

Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB

Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).

Lại có: MN ⊥ DF

⇒ EM ⊥ DF

AK là đường kính, BC là đây cung (1)

⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Câu 3