Câu hỏi:
13/07/2024 702
Cho a, b là các số nguyên dương và q = \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}\) là số nguyên. Chứng minh rằng q là số chính phương.
Cho a, b là các số nguyên dương và q = \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}\) là số nguyên. Chứng minh rằng q là số chính phương.
Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử q không phải là số chính phương
Xét tập S(q) = \(\left\{ {\left. {\left( {a;b} \right) \subset {{\left( {{\mathbb{N}^*}} \right)}^2}} \right|q = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}} \right\}\). Theo giả thiết S(q) ≠ ∅ nên theo nguyên lý cực hạn tồn tại cặp số (A; B) thuộc S(q) sao cho A + B nhỏ nhất.
Giả sử A ≥ B.
Xét phương trình q = \(\frac{{{x^2} + {B^2}}}{{Bx + 1}} \Leftrightarrow {x^2} - Bqx + {B^2} - q = 0\)
Rõ ràng A là một nghiệm của phương trình. Giả sử nghiệm còn lại là a.
Theo định lý Vi–ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}A + a = Bq\\Aa = {B^2} - q\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = Bq - A\left( 3 \right)\\a = \frac{{{B^2} - q}}{A}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Đến đây ta có thể đi đến kết luận A ≤ a.
Theo phương trình trên thì A2 ≤ Aa = B2 + 6 ⇔ (A – B)(A + B) ≤ 6.
Từ đó suy ra (A – B)(A + B) ∈ {0;1;2;3;4;5;6} với A ≥ B.
Từ đây kiểm tra được chỉ có cặp A = B = 1 thỏa mãn p là số nguyên dương
Khi đó: p = 8 là số lập phương
Như vậy với mọi số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán thì p = 8 (A = B = 1 chỉ là các số nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này)
Vậy giả sử ban đầu là sai.
Vậy p là số chính phương.
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
31,819
Câu 2:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Xem đáp án »
13/07/2024
26,149
Câu 3:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
Xem đáp án »
13/07/2024
18,105
Câu 4:
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
13,054
Câu 5:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Xem đáp án »
13/07/2024
8,720
Câu 7:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,719
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận