Câu hỏi:

19/08/2025 847

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao cho AM + AN + MN = 2a. Chứng minh \(\widehat {MCN} = 45^\circ \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao (ảnh 1)

Vẽ tia Cx vuông góc với CN tại C, cắt AB tại E.

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {MCN} + \widehat {{C_3}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{C_2}} + \widehat {MCN} + \widehat {{C_3}} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

Xét tam giác CDN và tam giác CBE có:

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

CD = CB

\[\widehat {CDN} = \widehat {CBE} = 90^\circ \]

⇒ ∆CDN = ∆CBE (c.g.c)

⇒ CN = CE; DN = BE

Xét: AM + AN + ME

= AM + AN + MB + BE

= AM + AN + MB + ND (vì BE = ND, chứng minh trên)

= AM + MB + AN + ND

= AB + AD = 2a

Suy ra: AM + AN + ME = AM + AN + MN = 2a

Vậy MN = ME

Xét tam giác CMN và tam giác CME có:

CN = CE

Chung CM

MN = ME

⇒ ∆CMN = ∆CME (c.c.c)

⇒ \(\widehat {MCN} = \widehat {ECM}\)

Mà \(\widehat {MCN} + \widehat {ECM} = 90^\circ \)(do CE vuông góc CN)

Vậy \(\widehat {MCN} = 45^\circ \).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?

Lời giải

Tính được: 270° = \(\frac{{270}}{{180}}\pi = \frac{3}{2}\pi = \frac{3}{4}.2\pi \)

Vậy đu quay được góc 270° khi nó quay được \(\frac{3}{4}\) vòng

Ta có: đu quay quay được 1 vòng trong \(\frac{1}{3}\) phút

Vậy đu quay đu được \(\frac{3}{4}\) vòng trong: \(\frac{3}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{4}\) phút.

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác (ảnh 1)

Xét ADFC có: \(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = 90^\circ \)(Vì AD ⊥ BC và CF ⊥ AK)

Suy ra: ADFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.

⇒ \(\widehat {DFA} = \widehat {DCA}\)(cùng chắn cung AD) hay \(\widehat {DFA} = \widehat {BCA}\)

Mà \(\widehat {BKA} = \widehat {BCA}\)(góc nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat {DFA} = \widehat {BKA}\)

Mà 2 góc \(\widehat {DFA};\widehat {BKA}\)ở vị trí đồng bị nên DF // BK

Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB

Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).

Lại có: MN ⊥ DF

⇒ EM ⊥ DF

AK là đường kính, BC là đây cung (1)

⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Câu 3