Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.

a) Chứng minh DE = BF.

b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh \(\widehat {DHF} = 90^\circ \).

c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.

d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và

\[\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = \widehat {DAB} = 90^\circ \]

Xét △DEC và △BFC có

EC = FC (giả thiết)

\[\widehat {DCE} = \widehat {BCF} = 90^\circ \]

DC = BC (chứng minh trên)

Do đó △DEC = △BFC (c.g.c)

Suy ra DE = BF (2 cạnh tương ứng), \[\widehat {EDC} = \widehat {FBC}\]

b) Xét △BEH và △DEC có

\[\widehat {BEH} = \widehat {DEC}\] (hai góc đối đỉnh)

\[\widehat {EDC} = \widehat {FBC}\] (chứng minh câu a)

Suy ra △BEH ∽ △DEC  (g.g)

Do đó \[\widehat {BHE} = \widehat {DCE}\]

Mà \[\widehat {DCE} = 90^\circ \]nên \[\widehat {BHE} = 90^\circ \]

Hay DE ⊥ BF

Suy ra \[\widehat {DHF} = 90^\circ \]

c) Xét tam giác BDF có

DE ⊥ BF

BC ⊥ DF

DE cắt BC tại E

Suy ra E là trực tâm tam giác BDF

Do đó FK ⊥ BD

Mà AO ⊥ BD

Suy ra AO // IK

Vì CE = CF nên tam giác CEF cân tại C

Mà CI là trung tuyến

Suy ra CI là đường cao

Hay CI ⊥ EF

Xét tứ giác OKIC có \[\widehat {OKI} = \widehat {KOC} = \widehat {CIK} = 90^\circ \]

Suy ra OKIC là hình chữ nhật

Do đó OC = KI

Mà OC = AO

Suy ra AO = KI

Xét tứ giác AOIK có AO // KI, AO = KI (chứng minh trên)

Suy ra AOIK là hình bình hành

d) Xét tứ giác ABHD có \[\widehat {BAD} + \widehat {BHD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Suy ra tứ giác ABHD nội tiếp

Do đó \[\widehat {AHB} = \widehat {ADB} = 45^\circ \]

Xét tứ giác DKHF có \[\widehat {DKF} = \widehat {DHF} = 90^\circ \]

Suy ra tứ giác DKHF nội tiếp

Do đó \[\widehat {KHB} = \widehat {FDB} = 45^\circ \]

Suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {KHB}\]

Suy ra AH ≡ KH

Do đó A, H, K thẳng hàng.

Vậy A, H, K thẳng hàng.