Cho tam giác ABC có BC = 6, AB = 5, \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = 24\). Tính diện tích tam giác ABC

Áp dụng định lí cosin ta có:

\(AC = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} - 2.BA.BC.\cos \widehat B} \)

\(AC = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} - 2.\left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} } \right)} \)

\(AC = \sqrt {{5^2} + {6^2} - 2.24} = \sqrt {13} \)

Chu vi của tam giác BAC là: AB + AC + BC = 11 + \(\sqrt {13} \)

Áp dụng công thức herong: S_ABC = \(\sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \) trong đó p = \(\frac{{11 + \sqrt {13} }}{2}\)

S_ABC = \(\sqrt {\left( {\frac{{11 + \sqrt {13} }}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{11 + \sqrt {13} }}{2} - 6} \right)\left( {\frac{{11 + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt {13} } \right)} \)

\( = \sqrt {\left( {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)\left( {\frac{{11 - \sqrt {13} }}{2}} \right)} \)

\( = \sqrt {\frac{{\left( {13 - 1} \right)}}{4}.\left( {\frac{{11 - \sqrt {13} }}{2}} \right)} \)

\( = \sqrt {3.\left( {\frac{{11 - \sqrt {13} }}{2}} \right)} = \sqrt {\frac{{33 - 3\sqrt {13} }}{2}} \).