Câu hỏi:
29/01/2024 471
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh
abc(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) ≤ 8.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh
abc(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) ≤ 8.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
abc(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) ≤ 8
⇔ a(1 + a2).b(1 + b2).c(1 + c2) ≤ 8
Ta có: 2a(1 + a2) ≤ \(\frac{{{{\left[ {2a + \left( {1 + {a^2}} \right)} \right]}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}{4}\) ⇔ a(1 + a2) ≤ \(\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}{8}\)
2b(1 + b2) ≤ \(\frac{{{{\left[ {2b + \left( {1 + {b^2}} \right)} \right]}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {b + 1} \right)}^4}}}{4}\)⇔ b(1 + b2) ≤ \(\frac{{{{\left( {b + 1} \right)}^4}}}{8}\)
2c(1 + c2) ≤ \(\frac{{{{\left[ {2c + \left( {1 + {c^2}} \right)} \right]}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {c + 1} \right)}^4}}}{4}\)⇔ c(1 + c2) ≤ \(\frac{{{{\left( {c + 1} \right)}^4}}}{8}\)
Suy ra: a(1 + a2).b(1 + b2).c(1 + c2) ≤ \(\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}{8}.\frac{{{{\left( {b + 1} \right)}^4}}}{8}.\frac{{{{\left( {c + 1} \right)}^4}}}{8}\)
Mà (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ \(\frac{{{{\left( {a + 1 + b + 1 + c + 1} \right)}^3}}}{{27}} = \frac{{{{\left( {a + b + c + 3} \right)}^3}}}{{27}} = 8\)
Suy ra: a(1 + a2).b(1 + b2).c(1 + c2) ≤ \(\frac{{{8^4}}}{{8.8.8}} = 8\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} = 0\\a = b = c\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
28,562
Câu 2:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Xem đáp án »
13/07/2024
23,803
Câu 3:
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
11,922
Câu 4:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Xem đáp án »
13/07/2024
6,593
Câu 5:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,120
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Xem đáp án »
13/07/2024
2,922
về câu hỏi!