Câu hỏi:
13/07/2024 203
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).
b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của (O).
c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).
b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của (O).
c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.
Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên CK là phân giác ngoài của góc C.
Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên \(\widehat {ICK} = 90^\circ \)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\widehat {IBK} = 90^\circ \)
Xét tứ giác BICK ta có: \(\widehat {IBK} + \widehat {ICK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
⇒ BICK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°).
Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.
b) Ta có: Tam giác IOC cân tại O nên \(\widehat {OIC} = \widehat {OCI}\)
Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
\(\widehat {OIC} = \widehat {IAC} + \widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Suy ra: \(\widehat {ICO} + \widehat {ICA} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
Suy ra: OC vuông góc CA
Do đó: AC là tiếp tuyến của (O) tại C.
c) Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.
Ta có ngay: S = S' – SICKB = π.IO2 – SIBK – SIKC = \(\pi .\frac{{I{K^2}}}{4} - \frac{{BM.IK}}{2} - \frac{{CM.IK}}{2} = \pi .\frac{{I{K^2}}}{4} - \frac{{BC.IK}}{2}\)
Ta có: SABC = \(\frac{1}{2}.AM.BC = \frac{{AB + BC + CA}}{2}.IM\)
Suy ra: \(\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} .24 = \left( {AB + BC + CA} \right).IM\)
\(\sqrt {{{20}^2} - {{\left( {\frac{{24}}{2}} \right)}^2}.24} = \left( {20.2 + 24} \right).IM\)
⇒ IM = 6
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác IBM vuông tại B có đường cao BM ta có :
BM2 = IM.MK ⇒ MK = 122 : 6 = 24
IK = IM + MK = 24 + 6 = 30
S = \(\frac{1}{4}\pi I{K^2} - \frac{1}{2}.BC.IK = \frac{1}{4}\pi {.30^2} - \frac{1}{2}.24.30 = 225\pi - 360 \approx 346,86\left( {dvdt} \right)\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
28,465
Câu 2:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Xem đáp án »
13/07/2024
23,776
Câu 3:
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
11,709
Câu 4:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Xem đáp án »
13/07/2024
6,425
Câu 5:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,075
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Xem đáp án »
13/07/2024
2,904
về câu hỏi!