Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và O là trung điểm của IK.

a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).

b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của (O).

c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.

a) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.

Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên CK là phân giác ngoài của góc C.

Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên \(\widehat {ICK} = 90^\circ \)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\widehat {IBK} = 90^\circ \)

Xét tứ giác BICK ta có: \(\widehat {IBK} + \widehat {ICK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ BICK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°).

Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.

b) Ta có: Tam giác IOC cân tại O nên \(\widehat {OIC} = \widehat {OCI}\)

Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:

\(\widehat {OIC} = \widehat {IAC} + \widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Suy ra: \(\widehat {ICO} + \widehat {ICA} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

Suy ra: OC vuông góc CA

Do đó: AC là tiếp tuyến của (O) tại C.

c) Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.

Ta có ngay: S = S' – S_ICKB = π.IO² – S_IBK – S_IKC = \(\pi .\frac{{I{K^2}}}{4} - \frac{{BM.IK}}{2} - \frac{{CM.IK}}{2} = \pi .\frac{{I{K^2}}}{4} - \frac{{BC.IK}}{2}\)

Ta có: S_ABC = \(\frac{1}{2}.AM.BC = \frac{{AB + BC + CA}}{2}.IM\)

Suy ra: \(\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} .24 = \left( {AB + BC + CA} \right).IM\)

\(\sqrt {{{20}^2} - {{\left( {\frac{{24}}{2}} \right)}^2}.24} = \left( {20.2 + 24} \right).IM\)

⇒ IM = 6

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác IBM vuông tại B có đường cao BM ta có :

BM² = IM.MK ⇒ MK = 12² : 6 = 24

IK = IM + MK = 24 + 6 = 30

S = \(\frac{1}{4}\pi I{K^2} - \frac{1}{2}.BC.IK = \frac{1}{4}\pi {.30^2} - \frac{1}{2}.24.30 = 225\pi - 360 \approx 346,86\left( {dvdt} \right)\).