Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C = 40^\circ \). Kẻ phân giác BD.

Chứng minh BD + AD = BC.

Kẻ MD // BC (M thuộc AB)

Lấy N thuộc BC sao cho BD = BN

Trong tam giác DBN có \(\widehat {DBN} = \frac{1}{2}\widehat B = 20^\circ \)(BD là phân giác)

Mà BD = BN nên tam giác BDN cân tại B; \[\widehat {BND} = \widehat {BDN}\]

Suy ra: \[\widehat {BND} = \frac{{180^\circ - 20^\circ }}{2} = 80^\circ \]

Mà \(\widehat {DNB}\)là góc ngoài của tam giác DNC

Nên: \(\widehat {DNB} = \widehat C + \widehat {CDN}\)

⇒ \(\widehat {CDN} = \widehat {DNB} - \widehat C = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ \)

Vì MD // BC nên \(\widehat {MDB} = \widehat {DBN} = 20^\circ \)

Thấy tam giác BMD cân tại M vì \(\widehat {MBD} = \widehat {MDB} = \widehat {DBN} = 20^\circ \)

Suy ra: BM = MD

Lại có: MD // BC

Suy ra: BM = DC

Mà AB = AC nên AM = AD

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC}\) = \(\frac{1}{2}\widehat B = 20^\circ \)

\[\widehat {ADB} = 180^\circ - 20^\circ - 100^\circ = 60^\circ \]

\[\widehat {BDC} = 180^\circ - 20^\circ - 40^\circ = 120^\circ \]

Vì BDN là tam giác cân tại B nên \(\widehat {BDN} = \widehat {BND} = \frac{{180^\circ - 20^\circ }}{2} = 80^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {BDC} - \widehat {BDN} = 120^\circ - 80^\circ = 40^\circ \)

Mà \(\widehat {DCN} = 40^\circ \)

Nên tam giác DCN cân tại N.

⇒ DN = NC

Xét tam giác AMD và tam giác DNC có:

\(\widehat {ADM} = \widehat {DCN}\)(2 góc đồng vị)

\(\widehat {AMD} = \widehat {NDC} = 40^\circ \)

⇒ ∆AMD ∽ ∆ NDC (g.g)

⇒ \(\frac{{AM}}{{DN}} = \frac{{AD}}{{NC}} = \frac{{MD}}{{DC}}\)

Suy ra: AD = CN.

Vậy BD + AD = BD + NC = BN + NC = BC.