Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.

Gọi 5 số nguyên dương đã cho là K₁, K₂, K₃, K₄, K₅ (phân biệt từng đôi một). Ta có:

K₁ = \({2^{{a_1}}}{.3^{{b_1}}}\)

K₂ = \({2^{{a_2}}}{.3^{{b_2}}}\)

K₃ = \({2^{{a_3}}}{.3^{{b_3}}}\)

K₄ = \({2^{{a_4}}}{.3^{{b_4}}}\)

K₅ = \({2^{{a_5}}}{.3^{{b_5}}}\)

(a₁,a₂,a₃,... và b₁,b₂,b₃,... đều là số tự nhiên)

Xét 4 tập hợp sau:

+ A là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m lẻ, n lẻ)

+ B là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m lẻ, n chẵn)

+ C là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m chẵn, n lẻ)

+ D là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m chẵn, n chẵn)

Rõ ràng trong 5 số K₁, K₂, K₃, K₄, K₅ chắc chắn có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 tập hợp ví dụ K_i và K_j

K_i = \({2^{{a_i}}}{.3^{{b_i}}}\); K_j = \({2^{{a_j}}}{.3^{{b_j}}}\)

⇒ K_i.K_j = \({2^{{a_i} + {a_j}}}{.3^{{b_i} + {b_j}}}\)

Vì K_i và K_j thuộc cùng 1 tập hợp

Suy ra: a_i và a_j cùng tính chẵn lẻ, b_i và b_j cùng tính chẵn lẻ

a_i + a_j và b_i + b_j đều chẵn

K_i.K_j = \({2^{{a_i} + {a_j}}}{.3^{{b_i} + {b_j}}}\)là số chính phương.

Vậy trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.