Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Giả sử tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (O; R)

Ta đi chứng minh AB + AC + CA ≤ \(3\sqrt 3 R\)

Ta có: \({\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} \ge 0\)

⇔ OA² + OB² + OC² + \(2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right) \ge 0\)

⇔ 3R² \( \ge - 2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right)\)

⇔ 9R² \( \ge 6{R^2} - 2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right)\)

⇔ \(9{R^2} \ge \left( {O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + O{B^2}} \right) + \left( {O{B^2} - 2\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB} + O{C^2}} \right) + \left( {O{C^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} + O{A^2}} \right)\)

⇔ \[9{R^2} \ge {\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)^2}\]

⇔ \[9{R^2} \ge {\left( {\overrightarrow {BA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]

⇔ 9R² ≥ AB² + AC² + BC²

⇔ 9R² ≥ AB² + AC² + BC² ≥ \(\frac{{{{\left( {AB + BC + CA} \right)}^2}}}{{{1^2} + {1^2} + {1^2}}}\)(Bunhiacopxki)

⇔ 9R² ≥\(\frac{{{{\left( {AB + BC + CA} \right)}^2}}}{3}\)

⇔ 27R² ≥ (AB + BC + CA)²

⇔ AB + AC + CA ≤ \(3\sqrt 3 R\)

⇔ \(\frac{{AB}}{{2R}} + \frac{{BC}}{{2R}} + \frac{{CA}}{{2R}} \le \frac{{3\sqrt 3 R}}{{2R}}\)

Hay sinC + sinA + sinB ≤ \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)(dpcm).