Câu hỏi:
29/01/2024 1,475
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (O; R)
Ta đi chứng minh AB + AC + CA ≤ \(3\sqrt 3 R\)
Ta có: \({\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} \ge 0\)
⇔ OA2 + OB2 + OC2 + \(2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right) \ge 0\)
⇔ 3R2 \( \ge - 2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right)\)
⇔ 9R2 \( \ge 6{R^2} - 2\left( {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} } \right)\)
⇔ \(9{R^2} \ge \left( {O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + O{B^2}} \right) + \left( {O{B^2} - 2\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB} + O{C^2}} \right) + \left( {O{C^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} + O{A^2}} \right)\)
⇔ \[9{R^2} \ge {\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)^2}\]
⇔ \[9{R^2} \ge {\left( {\overrightarrow {BA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AC} } \right)^2}\]
⇔ 9R2 ≥ AB2 + AC2 + BC2
⇔ 9R2 ≥ AB2 + AC2 + BC2 ≥ \(\frac{{{{\left( {AB + BC + CA} \right)}^2}}}{{{1^2} + {1^2} + {1^2}}}\)(Bunhiacopxki)
⇔ 9R2 ≥\(\frac{{{{\left( {AB + BC + CA} \right)}^2}}}{3}\)
⇔ 27R2 ≥ (AB + BC + CA)2
⇔ AB + AC + CA ≤ \(3\sqrt 3 R\)
⇔ \(\frac{{AB}}{{2R}} + \frac{{BC}}{{2R}} + \frac{{CA}}{{2R}} \le \frac{{3\sqrt 3 R}}{{2R}}\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
31,953
Câu 2:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Xem đáp án »
13/07/2024
26,387
Câu 3:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
Xem đáp án »
13/07/2024
22,462
Câu 4:
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
13,173
Câu 6:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Xem đáp án »
13/07/2024
8,784
Câu 7:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,732
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận