Tam giác ABC nội tiếp (O), AD là đường kính của (O). M là trung điểm của của BC, H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB, HC, BC. Chứng minh rằng 4 điểm X, Y, Z, M cùng thuộc 1 đường tròn.

Giả sử HB cắt DY tại I, HC cắt DX tại K, J là trung điểm IK

Xét tam giác ADC có \(\widehat {ACD} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AC ⊥ CD

Mà BH ⊥ AC. Nên BH // CD

Tương tự: \(\widehat {ABD} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AB ⊥ BD

Mà CH ⊥ AB nên CH // BD

Xét tứ giác BHCD có: BH // CD và CH // BD nên BHCD là hình bình hành.

⇒ HD, BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

Vì DX ⊥ HI, DI ⊥ HC suy ra K là trực tâm của tam giác IHD

Nên: \[\widehat {KDI} = \widehat {KHI} = \widehat {HCD}\](HI //CD)

\(\widehat {CHD} = \widehat {KID}\)(cùng phụ với \(\widehat {HDI}\))

Xét tam giác KID và tam giác CHD có:

\(\widehat {KID} = \widehat {CHD}\)

\[\widehat {KDI} = \widehat {HCD}\]

⇒ ∆KID ∽ ∆CHD (g.g)

Mặt khác CM, DJ là hai trung tuyến tương ứng của tam giác CHD và KID

Như vậy ta có: ∆DIJ ∽ ∆CHM

⇒ \[\widehat {JDI} = \widehat {HCM}\]

Từ đó suy ra: DJ vuông góc với BC tại Z hay Z thuộc đường tròn đường kính MJ.

Lại có: M là trung điểm HD (chứng minh trên)

X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB, HC, BC

Kết hợp tính chất điểm M thì đường tròn đường kính MJ là đường trò Ơ–le của tam giác HID.

Suy ra: X, Y, Z, M cùng thuộc 1 đường tròn.