Câu hỏi:
13/07/2024 367
Tam giác ABC nội tiếp (O), AD là đường kính của (O). M là trung điểm của của BC, H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB, HC, BC. Chứng minh rằng 4 điểm X, Y, Z, M cùng thuộc 1 đường tròn.
Tam giác ABC nội tiếp (O), AD là đường kính của (O). M là trung điểm của của BC, H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB, HC, BC. Chứng minh rằng 4 điểm X, Y, Z, M cùng thuộc 1 đường tròn.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử HB cắt DY tại I, HC cắt DX tại K, J là trung điểm IK
Xét tam giác ADC có \(\widehat {ACD} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên AC ⊥ CD
Mà BH ⊥ AC. Nên BH // CD
Tương tự: \(\widehat {ABD} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên AB ⊥ BD
Mà CH ⊥ AB nên CH // BD
Xét tứ giác BHCD có: BH // CD và CH // BD nên BHCD là hình bình hành.
⇒ HD, BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường
Vì DX ⊥ HI, DI ⊥ HC suy ra K là trực tâm của tam giác IHD
Nên: \[\widehat {KDI} = \widehat {KHI} = \widehat {HCD}\](HI //CD)
\(\widehat {CHD} = \widehat {KID}\)(cùng phụ với \(\widehat {HDI}\))
Xét tam giác KID và tam giác CHD có:
\(\widehat {KID} = \widehat {CHD}\)
\[\widehat {KDI} = \widehat {HCD}\]
⇒ ∆KID ∽ ∆CHD (g.g)
Mặt khác CM, DJ là hai trung tuyến tương ứng của tam giác CHD và KID
Như vậy ta có: ∆DIJ ∽ ∆CHM
⇒ \[\widehat {JDI} = \widehat {HCM}\]
Từ đó suy ra: DJ vuông góc với BC tại Z hay Z thuộc đường tròn đường kính MJ.
Lại có: M là trung điểm HD (chứng minh trên)
X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên HB, HC, BC
Kết hợp tính chất điểm M thì đường tròn đường kính MJ là đường trò Ơ–le của tam giác HID.
Suy ra: X, Y, Z, M cùng thuộc 1 đường tròn.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Cho tanα = 2. Tính \(\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
28,465
Câu 2:
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?
Xem đáp án »
13/07/2024
23,776
Câu 3:
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
1 thùng rỗng nặng 1 yến. Khi đổ đầy nước thì thùng nước đó nặng 120kg. Hỏi một nửa thùng đó nặng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
11,709
Câu 4:
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Cho một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Xem đáp án »
13/07/2024
6,425
Câu 5:
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Cho hình trên biết AB // CD, CD // EF. Tính \(\widehat {ACD}\) và \(\widehat {ACE}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,075
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 150^\circ \). Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{1}{4}ab\)
B. \(\frac{1}{2}bc\)
C. \( - \frac{1}{2}ab\)
D. \(\frac{1}{4}bc\)
Xem đáp án »
13/07/2024
2,904
về câu hỏi!