Cho tam giác ABD có AB = 15cm, AD = 20cm, BD = 25cm. Vẽ AM vuông góc BD.

a) Chứng minh: tam giác ABD vuông. Tính AM, BM, MD.

b) Kẻ tia Bx // AD, vẽ AM vuông góc BD cắt Bx tại C. Chứng minh: AB² = AD.BC.

a) Ta thấy: 25² = 20² + 15² hay AB² + AD² = BD²

Theo định lí Pytago đảo, suy ra tam giác ABD vuông tại A

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABD vuông ta có:

AB.AD = AM.BD ⇒ AM = \(\frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12cm\)

AD² = MD.BD ⇒ DM = \(\frac{{A{D^2}}}{{BD}} = \frac{{{{20}^2}}}{{25}} = 16cm\)

BM = BD – DM = 25 – 16 = 9(cm)

b) Vì AB ⊥ AD do ABD vuông tại A

Và Bx // AD

Nên Bx ⊥ AB tại B. Suy ra: \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)

Xét tam giác BAM và tam giác BDA có:

Chung \(\widehat B\)

\(\widehat {BMA} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)

⇒ ∆BMA ∽ ∆BAD (g.g)

Suy ra: \(\widehat {BAM} = \widehat {BDA}\) hay \(\widehat {BAC} = \widehat {BDA}\)

Xét tam giác BAC và tam giác BAD có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDA}\)(chứng minh trên)

\(\widehat {ABC} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)

⇒ ∆BAC ∽ ∆ADB (g.g)

⇒ \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) ⇒ AB² = AD.AC.