Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH. Biết BC = 8cm, BH = 2cm.

a. Tính AB, AC, AH.

b. Trên AC lấy điểm K (K khác A và C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng

minh rằng BD.BK = BH.BC.

c. Chứng minh rằng S_BHD = \(\frac{1}{4}\)S_BKC.cos2\(\widehat {ABD}\).

a) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

AB² = BH.BC = 2.8 = 16 ⇒ AB = 4cm

CH = BC – BH = 8 – 2 = 6cm

AH² = BH.CH = 2.6 = 12 ⇒ AH = \(2\sqrt 3 \)cm

AC² = CH.CB = 6.8 = 48 ⇒ AC = \(4\sqrt 3 \)cm

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABK ta có:

AB² = BD.BK

Mà AB² = BH.BC

Nên BD.BK = BH.BC

c) S_ABC = \(\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

S_ABC = \(\frac{1}{2}CH.AB = \frac{1}{2}.AB.AC.\frac{{CH}}{{AC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\)

S_BHD = \(\frac{1}{2}.BH.BD.\sin \widehat {DBH}\)

S_KBC = \(\frac{1}{2}.BK.BC.\sin \widehat {KBC}\)

Mà \(\widehat {DBH} = \widehat {KBC}\)

Suy ra: \(\frac{{{S_{BHD}}}}{{{S_{KBC}}}} = \frac{{BH.BD}}{{BK.BC}} = \frac{2}{8}.\frac{{BD}}{{BK}} = \frac{1}{4}.\frac{{B{D^2}}}{{BK.BD}} = \frac{1}{4}.\frac{{B{D^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{1}{4}.{\cos ^2}\widehat {ABD}\)

Vậy S_BHD = \(\frac{1}{4}\)S_BKC.cos2\(\widehat {ABD}\).